复数知识点梳.pdf

复数知识点梳理与应用举例复数知识点梳理与应用举例【知识点归纳知识点归纳】1、复数集 (0)(,)()(0)(0)(0)babi a bRaba应特别注意，a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则 a+bi=0 是实数2、复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（1）加法：z1+z2=（a1+a2）+（b1+b2）i；（2）减法：z1z2=（a1a2）+（b1b2）i；（3）乘法：z1z2=（a1a2b1b2）+（a1b2+a2b1）i；（4）除法：；1121 22 11 222222()()za abba bab izab（5）四则运算的交换率、结合率、分配率都适合于复数的情况。（6）特殊复数的运算：（n 为整数）的周期性运算；（1i）2=2i；ni 若=+i，则 3=1，1+2=0.21233、共轭复数与复数的模（1）若 z=a+bi，则，为实数，为纯虚数（b0）.zabizzzz（2）复数 z=a+bi 的模，|a|=,且=a2+b2.22ab2|z zz注：复数 a+bi 的共轭复数是 abi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若 b=0，则实数 a 与实数 a 共轭，表示点落在实轴上。4、复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数 a+bi 的点到原点的距离。【学法指导学法指导】1、在运用复数的基本概念解题时，应掌握以下几个环节内容：（1）理解复数的分类；（2）两复数相等的充要条件是它们的实、虚部分别相等；（3）实数的共轭复数是其本身；（4）注意把复数问题实数化。2、应熟练掌握复数的代数形式以及利用代数式的运算法则进行四则运算；在运算过程中记住一些常见性质及结论，简化运算。【典型例题典型例题】例例 1、当 m 为何实数时，复数 z+（m2+3m10）i；2223225mmm（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数解：解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法（1）z 为实数，则虚部 m2+3m10=0，即，223100250mmm解得 m=2，m=2 时，z 为实数。（2）z 为虚数，则虚部 m2+3m100，即，223100250mmm解得 m2 且 m5.当 m2 且 m5 时，z 为虚数（3），22223203100250mmmmm解得 m=,当 m=时，z 为纯虚数2121诠释：诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时必须具备的相应条件，还应特别注 意分母不为零这一要求例例 2、（1）使不等式 m2（m23m）i（m24m3）i10 成立的实数 m .解：解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2（m23m）i（m24m3）i10,且虚数不能比较大小，.3m,1m3m3m0m10|m|,03m4m0m3m10m222或或解得当 m3 时，原不等式成立注：注：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。（2）已知 z=xyi（x，yR），且，求 z222log8(1 log)x yixy i解：解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法，222log8(1 log)x yixy i22280log1 logx yxy 32xyxy解得或,z2i 或 z12i21xy12xy注：注：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键点，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）。例例 3、若复数 z 满足 z=（tR），求 z 的对应点 Z 的轨迹方程11titi解：解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等设 zxyi，（x,yR），z=，11titi2222(1)12(1)(1)11tittitititt，消去参数 t，得 x2y2=1，且 x12221121txttyt 所求 z 的轨迹方程为 x2y21（x1）诠释：诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，求出|z|即可【模拟试题模拟试题】一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）1、设条件甲：x=0，条件乙：xyi（x，yR）是纯虚数，则（）A、甲是乙的充分非必要条件B、甲是乙的必要非充分条件C、甲是乙的充分必要条件 D、甲是乙的既不充分，又不必要条件2、已知关于 x 的方程 x2（2i1）x3mi0 有实根，则实数 m 应取的值是（）A、mB、m C、m=D、m=41411121123、等于（）36(13)2(1)12iiii A、0B、1C、1D、i4、设 f（z）|1+z|，若 f（）103i，则 z 等于（）zzA、53i B、53i C、53i D、53i5、方程 x2（k+2i）x2ki0 至少有一实根的条件是（）A、2k2 B、k2或 k22222C、k=2 D、k2226、若 23i 是方程 x2+mx+n0 的一个根，则实数 m，n 的值为（）A、m4，n=3 B、m=4，n13C、m4，n=21 D、m=4，n5二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）7、已知下列命题：（1）在复平面中，x 轴是实轴，y 轴是虚轴；（2）任何两个复数不能比较大小；（3）任何数的偶次幂都是非负数；（4）若 tsi=34i，则 t=3、s=4其中真命题为 8、若复数 z 满足 z+|=12i，则 z=.21z9、设 zC，|z|=1，则|z+i|的最大值为 .3三、解答题（本大题共 4 题，共 50 分）10、设是纯虚数，求复数 z 对应的点的轨迹方程1zz 11、已知复数 z 满足|z|5，且（3+4i）z 是纯虚数，求 z试题答案试题答案1、B2、C3、A4、B5、C 6、B7、（1）8、+2i 389、3 10、解：此题主要考查复数的有关概念及性质，四则运算和点的轨迹方程的求法 是纯虚数，即,1zz()011zzzz011zzzz，2z+z+=0，（z0，z1），20(1)(1)z zzzzzzz设 z=xyi，（x，yR），2（x2y2）2x0（y0）（x）2y2（y0）即为复数 z 对应的点的轨迹方程2141诠释：解此题应抓住虚数的定义和共轭复数的性质，利用运算法则进行求解。11、解：此题主要考查复数的有关概念，复数的运算，模的定义及计算设 zxyi（x,yR）,|z|5，x2y225,又（34i）z=（34i）（xyi）（3x4y）+（4x3y）i 是纯虚数，联立三个关系式解得，340430 xyxy4433xxyy z=43i 或 z43i