感知数学本质 生成直观想象素养——以“利用导数研究一元函数的零点问题”为例.pdf

感知数学本质 生成直观想象素养*以“利用导数研究一元函数的零点问题”为例刘孝成，汪世敏（广安友谊中学，四川 广安638001）摘要：直观想象是 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）要求的核心素养之一，培养学生直观想象素养是落实新时代“立德树人”核心教育方针的有效措施。文章以“利用导数研究一元函数的零点问题”为例进行教学分析和教学设计，详细阐述学生在直观想象素养生成过程中遇到的瓶颈问题，引导学生感知数学本质，最终达到思维提质。关键词：高中数学；直观想象；数学教学；数学本质*本文系四川省普教科研资助金重点课题野数学文化视域下的中小学生数学核心素养养成实践研究冶子课题野高中数学核心素养养成的监测与评估的实践研究冶渊课题编号院川教函揖2019铱514冤曰广安市现代教育技术研究课题野计算机辅助在高中数学习题教学的实践研究冶渊课题编号院GADJ2021063冤的研究成果遥相交关系是初等数学研究中的一种重要的位置关系，其带给研究者的思维冲击构筑了一系列的知识点和能力点，函数的零点在人教高中数学A版必修一第三章已经给出了明确定义，其几何本质是一种相交关系。本研究选取人教粤版选修圆原圆第一章导数及其应用的习题进行教学分析和教学设计，立意在相交关系这种几何本质的体现，探求直观想象素养生成的着力点。一、教学内容解析（一）知识分析本节课内容上应从学生熟悉的超越函数入手，变换视角分析，形成利用导数工具有效解决一元函数零点问题的方法。课程定位为思维品质和解题能力提升课，围绕“导数工具性”不断提出问题并引导学生发现问题、产生疑问，从不同角度寻求问题的解决，让学生学会转化，将问题转化为自己熟悉的极值、最值等问题后再去解决，整个过程应注重学生的自主探究和思想方法的渗透，增强了研究意识，并对分类讨论、数形结合以及转化思想有了进一步的体会。（二）数学思想和方法分析函数的零点问题是数、形、式三位一体的集中体现，是函数的零点、方程的解、图象的交点之间的转化过程，其中蕴含着数形结合和转化的数学思想。（三）知识体系分析学生具备知识网络，如图员。一元函数函数的定义函数的单调性函数的奇偶性函数的最值性函数的零点基本初等函数基本初等函数的导数公式导数运算法则导数与函数单调性的关系导数与极（最）值的关系高一阶段高二阶段利用导数研究一元函数的零点问题图1学生已具备的知识网络（四）价值分析通过利用导数研究一元函数零点，实现学生从感性认识到理性研究的思维转化，数学课堂不能只有抽象层面的代数推理，直观想象在学科研究中是形成论证思路和数学推理的思维基础，这正是本设计的学科价值之所在。本设计的教育价值在于运用观察到的数学现象，主动思考现象，寻求解决新情境中的数学问题，感悟情境问题中数学学科本质。（五）教学重点和难点重点：感悟函数零点问题蕴含的数学思想，厘清函数零点问题的内在联系和知识逻辑，准确使用导数工具。难点：构建合适的思路解决零点问题，认清零点、方程的解、相交关系互相转化的数学本质。（六）目标分析员援多角度探究零点问题转化出的相交关系，感知61课堂内外高中教研利用导数研究一元函数零点的问题实质，形成知识的高通路迁移。圆援对比各种转化出的相交关系，厘清零点问题等价转化的方式，体会数学思想（数形结合、特殊与一般、分类讨论、化归与转化）带来的乐趣，提升关键思维品质。猿援感受直观图形带来的美学特征，在图形的变化中培养学生捕捉信息的能力，通过严谨的思维和准确的表述，提升学科综合素养。二、教学环节设计（一）回顾知识，筑牢零点问题基础问题一：什么是零点？【设计意图】学生对知识要达到有深度的迁移和转化，必须站在更高的角度对现有概念和定义有一定的理解，不能停留在表面。函数的零点本质是思维的转化，是相交关系的代数展现，引导学生回顾知识有利于认清研究问题的本质：（员）不管哪类零点最终落脚到两图像的相交；（圆）零点问题的本质是数学知识的相互转化。在教学中应大胆让学生总结这种相交关系的常见形式（孤立零点、端点零点、极值零点、尖点零点和变号零点），感悟零点问题处理策略：（员）转化的数学思想；（圆）数形结合思想。【教学预设】在必修一第三章对函数的零点给出了明确的定义：对函数y=f（x）（x沂D），使f（x）=0的实数x叫作函数y=f（x）（x沂D）的零点。零点理解：方程f（x）=0的实数根x=x0圳函数y=f（x）的图象与x轴交点横坐标。（相当于两曲线相交交点的横坐标）所以零点不是点是方程的根或者是函数图象与x轴交点的横坐标，本质上零点是一个实数。（二）探究问题，发现问题本质问题二：求方程f（x）=lnx-x+1的零点个数？【设计意图】学生转化为方程lnx-x+1的解，易通过观察得出方程的解是x=1，x=1是函数f（x）=lnx-x+1的一个零点，但对是否只有一个零点，部分学生是无法直接回答的，大多数学生知道还需研究函数的性质，问题的设计具有可开发性，起到抛砖引玉的目的。【教学预设】本题还需探求函数f（x）=lnx-x+1的单调性。f忆（x）=1-xx当x沂（0，1），f（x）0，f（x）在（0，1）单调递增，当x沂（1，+肄），f忆（x）0，f（x）在（0，+肄）在单调递增；（圆）a0，令f忆（x）=0，则x=1a，所以f（x）在蓸0，1a蔀单调递增，在蓸1a，+肄蔀单调递减，如图猿。要使用f（x）有两个零点，首先f蓸1a蔀0，此时a沂（0，1），当x沂蓸0，1a蔀：处理一：因为0a1，所以1e1a，故在x沂蓸0，1a蔀取x=1e时，f蓸1e蔀-ae0。处理二：x寅0+，lnx寅-肄，1-ax寅1，所以lnx-ax+10。当x沂蓸1a，+肄蔀，x寅+肄，y=lnx和y=ax-1（0a1）的图像变化趋势如图源：Ox0yx图4y=lnx和y=ax-1（0alnx0，即f（x0）1，取beb-1a1，f蓸ba蔀=ln蓸ba蔀+1-b0遥角度二：将函数f（x）=lnx-ax+1（a沂R）有两个零点转化为lnx=ax-1方程有两个实根，进一步转化为函数y=lnx和过定点的直线系y=ax-1有两个交点，作出图像如图缘。Oyxf（x）=ln（x）g（x）=a x-1a=-1.38Oyxf（x）=ln（x）g（x）=a x-1a=0.5图5解答过程：令f（x）=0，所以lnx=ax-1，设切点为（x0，y0），在切点处满足方程lnx0=ax0-1袁1x0=a袁扇墒设设设设缮设设设设解方程可得x0=1，a=1。结合图形分析可知0a1。三、教学思考（一）情境设置的合理性熟悉情境、关联情境和综合情境是数学问题的常见呈现方式，学生对数学问题的研究一般遵循从熟悉情境入手，探入关联情境思考，深入综合情境。不同学龄段、不同认知深度的学生对情境的理解层次是有差异的，在设计直观想象情境时，应充分考虑这种差异，面对不同教学对象、不同学历阶段时应采用多样化的情境设计，做到适合学情。（二）问题设置的开放性传统教学中的问题设置，答案往往是单一的，存在问什么就答什么的教学现象，提问也比较单一；教师就题讲题，没有深入去挖掘问题的来源、本质、去向等相关知识，在这种模式下学生的思维被禁锢。数学知识的生成过程是教师应关注的问题，直观想象为这个过程搭建了一个良好的平台，教学设置问题的开放性体现在：（员）引入问题的多样性。可以采用顺势引入、逆向引入、生活情境引入等多样引入方式。（圆）答案的丰富性。问题的提出应充分考虑不同学生对问题的不同切入点，其获得答案或结果所耗的时间和精力也不相同，这样才能使不同学生得到不同的发展。（三）素养生成的关联性直观想象是“看”出来的，由于问题的综合性和复杂性，“看”已不再是单一的直接观察而是多个素养作用下的合力表象，简单来说就是考查直观想象素养的题目中不光有直观想象素养。以本研究中设计题目来说，研究函数f（x）=lnx-x+1的单调性需要数学运算素养，将函数零点转化为相交关系需要逻辑推理素养，计算出参数的值需要数学分析素养。在大概念的教学理念下，关注素养生成的关联性，不只局限于学科本身，跨学科的知识迁移对综合素养的提升也有较大的促进作用。（四）拓展练习的针对性基于图形直观解决数学问题是直观想象素养的核心，而图形关系琳琅满目，因此在对应图形关系的研究后，拓展练习应遵循学生的认知特点和开放性思维方式进行有针对性的练习设计。这种针对性体现在两方面，一是兴于形、立于思、成于新是直观想象课后习题设计的原则；二是适度迁移，学生知识体系的完整性是无法和教师进行对比的，因此设计的练习应遵循学生认知发展的原则，不能过度迁移。高中生正处在素养和能力发展的黄金期，大部分学生能够理清自己解决问题的思路，对抽象性的几何问题，绘图、利用图象分析、借助图象解决问题、动态捕捉关键信息都有一定基本功，如果能够在问题转化、抽象概括方面提升自己，教师适当引导，学生自我总结，发现问题实质，形成高通路的知识迁移，这样直观想象素养就能得到长久的发展。63