[学习]概率论与数理统计浙大四版第五章第五章2讲.ppt

,第二节,中心极限定理,中心极限定理的客观背景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响,.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响,.,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些,随机因素的总影响,.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等等,.,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大,.,则这种量一般都服从或近似服从正态分布,.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见,.,现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题,.,当,n,无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？,在什么条件下极限分布会是正态的呢？,由于无穷个随机变量之和可能趋于,，故我们不研究,n,个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限,.,的分布函数的极限,.,可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布,.,考虑,中心极限定理,这就是下面要介,绍的,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做,中心极限定理,.,我们只讨论几种简单情形,.,下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称,列维一林德伯格,（,Levy,Lindberg,）,定理,.,定义,定理,1,（,独立同分布下的中心极限定理,）,它表明，当,n,充分大时，,n,个具有期望和方差,的独立同分布的,r.v,之和近似服从正态分布,.,设,X,1,X,2,是独立同分布的随机,变量序列，且,E,(,X,i,)=,，,D,(,X,i,)=,，,i,=1,2,，则,虽然在一般情况下，我们很难求出,X,1,+,X,2,+,X,n,的分布的确切形式，但当,n,很大时，可以求出近似分布,.,定理,(,棣莫佛拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数,n,p,(,0,p,1,),的二项分布，则对任意,x,，有,定理表明，当,n,很大，,0,p,1920),由题给条件知,诸,X,i,独立,16,只元件的寿命的总和为,解,:,设第,i,只元件的寿命为,X,i,i,=1,2,16,E,(,X,i,)=100,D,(,X,i,)=10000,依题意，所求为,P,(,Y,1920),由于,E,(,Y,)=1600,D,(,Y,)=160000,由中心极限定理,近似,N,(0,1),P,(,Y,1920)=1-,P,(,Y,1920),=1-,(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,稍事休息,例,2,.(,供电问题,),某车间有,200,台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车,.,设开工率为,0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力,1,千瓦,.,问应供应多少瓦电力就能以,99.9%,的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产,?,用,X,表示在某时刻工作着的车床数，,解：对每台车床的观察作为一次试验，,每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率为,0.6,，共进行,200,次试验,.,依题意，,X,B,(200,0.6),现在的问题是：,P,(,X,N,)0.999,的最小的,N,.,求满足,设需,N,台车床工作，,（由于每台车床在开工时需电力,1,千瓦，,N,台工作所需电力即,N,千瓦,.,）,由德莫佛,-,拉普拉斯极限定理,近似,N,(0,1),于是,P,(,X,N,)=,P,(0,X,N,),这里,np,=120,np,(1-,p,)=48,由,3,准则，,此项为,0,。,查正态分布函数表得,由,0.999,，,从中解得,N,141.5,即所求,N,=142,.,也就是说,应供应,142,千瓦电力就能以,99.9%,的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产,.,3.1,故,例,3,在一个罐子中,装有,10,个编号为,0-9,的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码,.,问对序列,X,k,能否应用大数定律？,诸,X,k,独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律,.,解,:,k,=1,2,E,(,X,k,)=0.1,(1),设,，,k,=1,2,即,对,任意的,0,解,:,k,=1,2,E,(,X,k,)=0.1,诸,X,k,独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律,.,(2),至少应取球多少次才能使“,0”,出现的频率在,0.09-0.11,之间的概率至少是,0.95?,解：设应取球,n,次，,0,出现频率为,由中心极限定理,近似,N,(0,1),近似,N,(0,1),欲使,即,查表得,从中解得,即至少应取球,3458,次才能使“,0”,出现的频率在,0.09-0.11,之间的概率至少是,0.95.,(3),用中心极限定理计算在,100,次抽取中,数码“,0”,出现次数在,7,和,13,之间的概率,.,解：在,100,次抽取中,数码“,0”,出现次数为,由中心极限定理,近似,N,(0,1),即,近似,N,(0,1),E,(,X,k,)=0.1,D,(,X,k,)=0.09,即在,100,次抽取中，数码“,0”,出现次数在,7,和,13,之间的概率为,0.6826.,=0.6826,近似,N,(0,1),这一讲我们介绍了中心极限定理,在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理,.,中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释,为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线,这一值得注意的事实,.,无处不在的,9,任取一多位数（位数大于等于,2,），然后交换次序得另一数，将大数减小数，求差数的各位数之和，若为一位数则必为,9,，若是多位数，则在求其各位数之和，如此反复，直到和为一位数，则必为,9.,如：,72-27=45,4+5=9.,二维,Hilbert,曲线,德国数学家,David Hilbert,发现了这样一种可以填满整个单位正方形的分形曲线，他称它为,Hilbert,曲线。我们来看一看这条曲线是怎么构造出来的。首先，我们把一个正方形分割为,4,个小正方形，然后从左下角的那个小正方形开始，画一条线经过所有小正方形，最后到达右下角,。,现在，我们把这个正方形分成,16,个小正方形，目标同样是从左下角出发遍历所有的格子最后到达右下角。,而在这之前我们已经得到了一个,2x2,方格的遍历方法，我们正好可以用它。把两个,2x2,的格子原封不动地放在上面两排，右旋,90,度放在左下，左旋,90,度放在右下，然后再补三条线段把它们连起来。现在我们得到了一种从左下到右下遍历,4x4,方格的方法，而这又可以用于更大规模的图形中。用刚才的方法把四个,4x4,的方格放到,8x8,的方格中，我们就得到了一条经过所有,64,个小方格的曲线。不断地这样做下去，无限多次地迭代后，每个方格都变得无穷小，最后的图形显然经过了方格上所有的点，它就是我们所说的,Hilbert,曲线。,三维,Hilbert,曲线,