高教五高数定积分应用随堂讲解.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高教五高数定积分应用随堂讲解,高教五高数定积分应用随堂讲解高教五高数定积分应用随堂讲解一、平面图形的面积2021/3/282,一、平面图形的面积,2026/10/18,2,2026/10/18,3,2026/10/18,4,2026/10/18,5,2026/10/18,6,故所求的面积为,2026/10/18,7,2026/10/18,8,2026/10/18,9,解 如图所示，,因为椭圆图形关于两个坐标轴,都是对称的，所以整个椭圆面,积应为位于第一象限内面积的,4,倍,.,即,2026/10/18,10,二、,定积分的元素法,1.,什么问题可以用定积分解决,?,表示为,1),所求量,U,是与区间,a,b,上的某分布,f,(,x,),有关的,2),U,对区间,a,b,具有可加性,即可通过,“,大化小,常代变,近似和,取极限”,定积分定义,一个整体量,;,2026/10/18,11,第一步 利用“化整为零,以常代变”求出局部量的,微分表达式,第二步 利用“积零为整,无限累加”求出整体量的,积分表达式,这种分析方法成为元素法,(,或微元分析法,),元素的几何形状常取为,:,条,带,段,环,扇,片,壳 等,近似值,精确值,2.,如何应用定积分解决问题,?,2026/10/18,12,一、平面图形的面积,2026/10/18,13,2026/10/18,14,2026/10/18,15,解,:,利用对称性,所围图形的面积,.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当,a,=,b,时得圆面积公式,例,3,求椭圆,2026/10/18,16,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积,.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,2026/10/18,17,2026/10/18,18,设所给立体垂直于,x,轴的截面面积为,A,(,x,),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,2.,平行截面面积为已知的立体的体积,2026/10/18,19,轴旋转一周围成的立体体积时,特别,当考虑连续曲线段,有,当考虑连续曲线段,绕,y,轴旋转一周围成的立体体积时,有,2026/10/18,20,所围图形绕,x,轴旋转而,转而成的椭球体的体积,.,（注意：课本例,6,是“绕,y,轴旋转”）,解,:,方法,1,利用直角坐标方程,则,(,利用对称性,),例,5,计算由椭圆,2026/10/18,21,则,特别当,b,=,a,时,就得半径为,a,的球体的体积,方法,2,利用椭圆参数方程,2026/10/18,22,并,与底面交成,角,解,:,如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于,x,轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积,.,例,6,一平面经过半径为,R,的圆柱体的底圆中心,2026/10/18,23,此时截面面积函数是什么,?,如何用定积分表示体积,?,提示,:,思考,:,可否选择,y,作积分变量,?,这就是课本中给出的解法！,2026/10/18,24,垂直,x,轴的截面是椭圆,所围立体,(,椭球体,),解,:,它的面积为,因此椭球体体积为,特别当,a,=,b,=,c,时就是球体体积,.,的体积,.,（补充题）,例,7,计算由曲面,2026/10/18,25,内容小结,1.,掌握定积分的元素法，并会应用,元素法来解决一些几何和物理方面的问题。,2.,定积分几何学上的应用,（,1,）平面图形面积（直角坐标系、极坐标和参数方程）,（,2,）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体）,2026/10/18,26,课外练习,习题,5,5,思考练习,1.,用定积分表示图中阴影部分的面积,A,及边界长,s,.,提示,:,交点为,弧线段部分,直线段部分,以,x,为积分变量,则要分,两段积分,故以,y,为积分变量,.,2026/10/18,27,与,x,轴围成的封闭图形,绕直线,y,3,旋转得的旋转体体积,.,（,94,考研）,解,:,利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,2.,求曲线,2026/10/18,28,汇报结束,谢谢大家,!,请各位批评指正,