二项式定理1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二项式定理,(,a,+b),2,=(,a,+b)(,a,+b)=,aa,+,a,b+b,a,+b,b=,a,2,+2,a,b+b,2,(,a,+b),3,=(,a,+b)(,a,+b)(,a,+b),=,aaa,+,aa,b+,a,b,a,+b,aa,+,a,b,b+b,a,b+b,b,a,+,b,b,b,=,a,3,+3,a,2,b+3,a,b,2,+b,3,还能写出,(,a,+b),4,的,展开式吗？,写出二项式,(,a,+b),2,、,(,a,+b),3,展开式,(a+b),2,(,a,+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a,2,+2ab+b,2,展开后其项的形式为：,a,2,，,a,b,，,b,2,这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑,b,恰有,1,个取,b,的情况有,C,2,1,种,，,则,a,b,前的系数为,C,2,1,恰有,2,个取,b,的情况有,C,2,2,种，则,b,2,前的系数为,C,2,2,每个都不取,b,的情况有,1,种，即,C,2,0,则,a,2,前的系数为,C,2,0,(,a,+b),2,=,a,2,+2,a,b+b,2,C,2,0,a,2,+C,2,1,a,b,+C,2,2,b,2,即每一项的形式是,a,4-k,b,k,，,从上述过程中可以发现，,(,a+b),n,是,n,个,(,a+b,),相乘，,根据多项式乘法法则，,每个,(,a+b,),相乘时有两个选择，选,a,或选,b,，,而且每个,(,a+b,),中的,a,或,b,选定后，才能得到展开式的一项，,由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。,探索,(a+b),4,的展开式的形式。,4,个括号中取,a,和取,b,的个数和为,4,，,每个都不取,b,的情况有,1,种，即,C,4,0,则,a,4,前的系数为,C,4,0,恰有,1,个取,b,的情况有,C,4,1,种，则,a,3,b,前的系数为,C,4,1,恰有,2,个取,b,的情况有,C,4,2,种，则,a,2,b,2,前的系数为,C,4,2,恰有,3,个取,b,的情况有,C,4,3,种，则,a,b,3,前的系数为,C,4,3,恰有,4,个取,b,的情况有,C,4,4,种，则,b,4,前的系数为,C,4,4,则,(,a,+b),4,C,4,0,a,4,C,4,1,a,3,b,C,4,2,a,2,b,2,C,4,3,a,b,3,C,4,4,b,4,(,a,+b),4,(,a,+b)(,a,+b)(,a,+b)(,a,+b)？,k=0,时,k=4,k=3,k=2,k=1,(,a,+b),2,=,C,2,0,a,2,+C,2,1,a,b,+C,2,2,b,2,(,a,+b),3,=C,3,0,a,3,+C,3,1,a,2,b+C,3,2,a,b,2,+C,3,3,b,3,(,a,+b),4,C,4,0,a,4,C,4,1,a,3,b C,4,2,a,2,b,2,C,4,3,a,b,3,C,4,4,b,4,猜想,(,a,+b),n,的展开式,(,n,N,*),然后将上述过程合起来，就得到二项展开式，,(,n,N,*),证明：对,(,a+b),n,分类，按,b,可以分,n+1,类，,不取,b,：,C,n,0,a,n,；,取,1,个,b,：,C,n,1,a,n-1,b,1,；,取,2,个,b,：,C,n,1,a,n-2,b,2,；,(k+1),取,k,个,b,：,C,n,k,a,n-k,b,k,；,(n+1),取,n,个,b,：,C,n,n,b,n,；,(,a,+b),n,C,n,0,a,n,C,n,1,a,n-1,b,C,n,2,a,n-2,b,2,C,n,k,a,n-,k,b,k,C,n,n,b,n,(nN*),(4),二项式系数为,C,n,0,，,C,n,1,，,C,n,2,，,C,n,k,C,n,n,是一组与二项式次数,n,有关的组合,数,，,与,a,b,无关,二项展开式的特点：,(1),共有,n+1,项,(2),各项的次数和都等于二项式的次数,n,(3),字母,a,按降幂排列，次数由,n,递减到,0,字母,b,按升幂排列，次数由,0,增加到,n,类型,1,二项式的展开式的应用,例,1,：,(1),写出,(1+2x),5,的展开式中的第,4,项,(2),写出,(1+2x),5,的展开式,(3),求 的展开式,例,2,（,1,）求 的展开式的第,4,项的系数；,（,2,）求 的展开式中,x,3,的系数及二项式系数,9-2r=3,r=3,例,3,求 的展开式中的倒数第,4,项；,求 的展开式常数项；,解：展开式中共,13,项，它的倒数第,4,项是第,10,项，,，,；,当,时展开式是常数项，即常数项为,类型二、求和问题,例,3,计算并求值,解,(1):,将原式变形,1.,（,x-2),9,的展开式中，第,6,项的二项式系数,是,（）,A.4032 B.-4032 C.126 D.-126,2.,若 的展开式中的第三项系数,等于,6,，则,n,等于,（）,A.4 B.4,或,-3 C.12 D.3,3.,多项式,(1-2x),5,(2+x),含,x,3,项的系数是（）,A.120 B.-120 C.100 D.-100,例题,当堂检测,C,C,B,5.,二项式 的展开式中第三项系,数比第二项系数大,44,，求第,4,项的系数,.,4.,求,(x-1)-(x-1),2,+(x-1),3,-(x-1),4,+(x-1),5,的展开式,中，,x,2,的系数,分析：由第三项系数比第二项系数大,44,先,求,n,，,再由通项求第四项系数,.,答案：,-20,答案：,165,例题,求,指定项的系数,