第四章 随机变量的数字特征.ppt

广东工业大学,广东工业大学,广东工业大学,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,2,方,差,3,协,方差及相关系数,4,矩、协方差矩阵,前面我们讨论了随机变量的分布函数，分布函数能完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中，我们不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需要知道随机变量的某些特征就行了。,例如，在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量就行了。,又如在比较两个班的考试成绩时，一般考虑的是两个班的平均成绩。,再比如检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。,从上述例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的特征。,本章我们介绍随机变量常用的数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩。,1,数学期望,1,、引例：,试问哪个射手技术较好,?,甲乙两射手进行打靶练习，各发,100,箭，他们打中的环数及次数如下：,X,甲,8,9,10,频数,N,k,30,60,10,X,乙,8,9,10,频数,N,k,35,35,30,甲的平均环数,环数为 的频率,概率代替频率,2,、离散型随机变量的数学期望,设离散型随机变量,X,的分布律为,则称级数 的和为随机变,若级数 绝对收敛，,量,X,的,数学期望,。记为 。,即,数学期望简称为,期望,，又称为,均值,。,例,1,设随机变量,X,的分布律为,求,EX,。,解：,EX=(-1)0.2+00.3+10.1+30.4=1.1,例,2,设随机变量,X,服从参数为 泊松分布，求,X,的数学期望。,解：,例,3,（二项分布的数学期望）,解：,设想有这样一种博彩游戏,博彩者将本金,1,元压注在,1,到,6,的某个数字上,然后掷三颗骰子,若所压的数字出现,i,次,(,i,=1,2,3),则下注者赢,i,元,否则没收,1,元本金,.,试问这样的游戏规则对下注者是否公平,?,例,4,（一种博彩方式）,解：,设,X,为一次下注的赢利,于是得,X,的分布律为,大致地可说：每平均玩,216,次，下注者必将输,17,元。,故这一游戏规则对下注者来说是不公平的。,3,、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量,X,的密度函数为,绝对收敛，,期望,。记为 。,即,若积分,则称积分 的值为随机变量,X,的,数学,解,例,1,设随机变量,X,的密度为,求,EX,。,例,2,设随机变量 服从 上的均匀分布，求,EX,。,解,：,则有,f,(,x,),均匀分布的数学期望位于区间的中点,.,均匀分布的特征是：随机变量落在任意小区间的概率只,与小区间的长度有关，而与小区间的位置无关。,某种意义上表现随机变量取值的“等可能”性。,例,3,设随机变量 ，求,E,X,。,则有,4,、一维随机变量函数的数学期望,已知随机变量,X,的分布，而,，其中,g,为连续函数。,求随机变量,Y,的数学期望。,（,1,）离散型,设,X,的分布律为,若级数 绝对收敛，,则有,（,2,）连续型,设随机变量,X,的密度为,若积分 绝对,收敛，则有,4,、一维随机变量函数的数学期望,已知随机变量,X,的分布，而,，其中,g,为连续函数。,求随机变量,Y,的数学期望。,（,1,）离散型,设,X,的分布律为,若级数 绝对收敛，,则有,（,2,）连续型,设随机变量,X,的密度为,若积分 绝对,收敛，则有,例,1,设随机变量,的分布律为,解,记,例,2,设风速,V,在 上服从均匀分布，即具有概率密度函数,求,EW,。,又设飞机机翼受到的正压力,W,是,V,的函数：,解,5,、二维随机变量函数的数学期望,已知二维随机变量,(,X,Y,),的分布，而 ，,连续函数。,求随机变量,Z,的数学期望。,（,1,）离散型,设,(,X,Y,),的分布律为,则有,（,2,）连续型,设二维随机变量,(,X,Y,),的联合密度为,则有,其中,g,为,5,、二维随机变量函数的数学期望,已知二维随机变量,(,X,Y,),的分布，而 ，,连续函数。,求随机变量,Z,的数学期望。,（,1,）离散型,设,(,X,Y,),的分布律为,则有,（,2,）连续型,设二维随机变量,(,X,Y,),的联合密度为,则有,其中,g,为,6,、数学期望的性质,性质,1,设,C,为常数，则有 。,性质,2,设,X,为随机变量，,C,为常数，则有,性质,3,设,X,Y,为两个随机变量，则有,性质,4,设,X,Y,为两个随机变量，,a,b,为常数，则有,性质,5,设,X,Y,为两个,相互独立,的随机变量，则有,2,方 差,1,、定义,设,X,为随机变量，若,存在，称 为随机变量,X,的,方差,。,记为,或,即,称为 随机变量,X,的,标准差,或,方差根,或,均方差,。,方差是一个常用来体现随机变量,X,取值分散程度。方差越大，表示随机变量,X,的,取值分散程度越大,或者说方差越小,表示随机变量,X,的取值越集中。,2,、方差的意义,3,、方差的计算,（,1,）离散型,设离散型随机变量,X,的分布律为,则有,（,2,）连续型,设随机变量,X,的密度为,则有,证明,4,、一个重要公式,例,1,设随机变量,X,的分布律为,求,。,解：,E(X)=(-1)0.2+0 0.3+1 0.1+3 0.4=1.1,=10.2+0 0.3+1 0.1+9 0.4=3.9,例,2,解：,这样，就有,例,3,解：,这样，就有,例,4,设随机变量,X,服从 上的均匀分布，求,DX,。,E(X),解：,例,5,求,指数分布的期望与方差,则有,例,6,设随机变量 ，求,D,X,。,解,例,7,设随机变量,X,的密度为,求,DX,。,于是,5,、方差的性质,性质,1,设,C,为常数，则有 。,性质,2,设,X,为随机变量，,C,为常数，则有,性质,3,设,X,Y,为两个随机变量，则有,特别地，若,X,与,Y,相互独立，则有,性质,4,当且仅当 。,6,、随机变量的标准化,则称,设随机变量,X,具有数学期望,，方差,。,为,X,的标准化随机变量。,显然，有,7,、切比雪夫不等式,设随机变量,X,具有数学期望,，方差 。,则对任意正数 ，有,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，,则事件,|,X,-,E,(,X,)|,的概率越大，,即,随机变量,X,集中在期望附近的可能性越大,.,例,1:,假设一批种子的良种率为,1/6,，从中任意选出,600,粒，试用切比晓夫（,Chebyshev,）,不等式估计：这,600,粒种子中良种数所占比例与,1/6,之差的绝对值不超过,0.02,的概率。,3,协方差及相关系数,1,、协方差的定义,的数字特征。,的数学期望为,X,与,Y,的,协方差,。,记为,即,称函数,对给定的二维随机变量 ，,对于二维随机变量度 ，我们不仅关心随机变量,X,和,Y,也关心反应随机变量,X,与,Y,之间关系的数字特征。,反应随机变量之间关系的数字特征主要有,协方差,和,相关系数。,（,1,）离散型,（,2,）连续型,2,、协方差的计算,1,、协方差的定义,的数学期望为,X,与,Y,的,协方差,。,记为,即,称函数,对给定的二维随机变量 ，,3,、协方差的性质,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,8,）,（,5,）,（,6,）,（,7,）,4,、相关系数的定义,随机变量 的相关系数 定义为,或记为,标准尺度下的协方差,5,、相关系数的意义,考虑用,X,的线性函数 来近似表示,Y,。,记,显然，若,e,越小，表示 与,Y,的近似程度越好。,即,e,刻划了 与,Y,的近似程度。,又,均方误差,下面，我们来求,Y,的最佳线性近似。,解得,从而,5,、相关系数的意义,考虑用,X,的线性函数 来近似表示,Y,。,记,显然，若,e,越小，表示 与,Y,的近似程度越好。,即,e,刻划了 与,Y,的近似程度。,均方误差,6,、相关系数的性质,（,1,）,（,2,）,当且仅当存在常数,a,b,，使得 。,5,、相关系数的意义,考虑用,X,的线性函数 来近似表示,Y,。,记,显然，若,e,越小，表示 与,Y,的近似程度越好。,即,e,刻划了 与,Y,的近似程度。,均方误差,6,、相关系数的性质,（,1,）,（,2,）,当且仅当存在常数,a,b,，使得 。,相关系数 为表征随机变量,X,与,Y,之间线性关系紧密程度的量。,越大，表示,X,与,Y,的线性相关程度越好。,5,、相关系数的意义,7,、不相关,若 ，则称随机变量,X,与,Y,不相关,。,（,1,）若 ，则,X,与,Y,不相关。,（,2,）若随机变量,X,与,Y,相互独立，则,X,与,Y,不相关。,注：,独立一定不相关，不相关不一定独立。,例,1,设随机变量 服从 上的均匀分布,设,讨论随机变量 与 的相关系数及独立性,.,解,随机变量 的密度函数为,于是,例,1,设随机变量 服从 上的均匀分布,设,讨论随机变量 与 的相关系数及独立性,.,从而有,而由,知 与 不独立,.,解,随机变量 的密度函数为,若 独立，则有,反之,时,不一定独立,.,上例说明,:,与,有严格的函数关系，,例,2,设二维随机变量 的联合密度为,试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关,系数,并求 。,解,例,2,设二维随机变量 的联合密度为,试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关,系数,并求 。,例,2,设二维随机变量 的联合密度为,试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关,系数,并求 。,例,2,设二维随机变量 的联合密度为,试求数学期望 ，方差 ，协方差 ，相关,系数,并求 。,8,、二维正态分布的相关系数,:,从而相关系数,于是,其联合密度函数为,则 相互独立当且仅当,于是，我们有,则 相互独立当且仅当 不相关,独立一定不相关,不相关不一定独立,.,通过以上讨论,我们得到如下结论,:,但如果 服从,二维正态分布,则 相互独立与 不相关等价,解,例,3,4,矩、协方差矩阵,一、矩,设,X,和,Y,为随机变量，若,存在，则称它为,X,的,k,阶,原点矩,，简称为,k,阶矩。,若,存在，则称它为,X,的,k,阶,中心矩,。,存在，则称它为,X,和,Y,的,k+l,阶,混合矩,。,若,存在，则称它为,X,和,Y,的,k+l,阶,混合中心矩,。,若,二、协方差矩阵,设 为,n,维随机变量。若二阶混合中心矩,则称矩阵,都存在，,为,n,维随机变量 的,协方差矩阵,。,第四章总结,主要内容,1,、离散型随机变量的数学期望,设离散型随机变量,X,的分布律为,则称级数 的和为随机变,若级数 绝对收敛，,量,X,的,数学期望,。记为 。,即,数学期望简称为,期望,，又称为,均值,。,一、数学期望,2,、连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量,X,的密度函数为,绝对收敛，,期望,。记为 。,即,若积分,则称积分 的值为随机变量,X,的,数学,3,、一维随机变量函数的数学期望,已知随机变量,X,的分布，而,，其中,g,为连续函数。,求随机变量,Y,的数学期望。,（,1,）离散型,设,X,的分布律为,若级数 绝对收敛，,则有,（,2,）连续型,设随机变量,X,的密度为,若积分 绝对,收敛，则有,4,、二维随机变量函数的数学期望,已知二维随机变量,(,X,Y,),的分布，而 ，,连续函数。,求随机变量,Z,的数学期望。,（,1,）离散型,设,(,X,Y,),的分布律为,则有,（,2,）连续型,设二维随机变量,(,X,Y,),的联合密度为,则有,其中,g,为,5,、数学期望的性质,性质,1,设,C,为常数，则有 。,性质,2,设,X,为随机变量，,C,为常数，则有,性质,3,设,X,Y,为两个随机变量，则有,性质,4,设,X,Y,为两个随机变量，,a,b,为常数，则有,性质,5,设,X,Y,为两个,相互独立,的随机变量，则有,1,、定义,设,X,为随机变量，若,存在，称 为随机变量,X,的,方差,。,记为,或,即,称为 随机变量,X,的,标准差,或,方差根,或,均方差,。,二、方差,2,、,一个重要公式,3,、方差的性质,性质,1,设,C,为常数，则有 。,性质,2,设,X,为随机变量，,C,为常数，则有,性质,4,设,X,Y,为两个随机变量，则有,特别地，若,X,与,Y,相互独立，则有,性质,5,当且仅当 。,性质,3,三、协方差与相关系数,1,、协方差的定义,的数学期望为,X,与,Y,的,协方差,。,记为,即,称函数,对给定的二维随机变量 ，,2,、协方差的性质,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,8,）,（,5,）,（,6,）,（,7,）,3,、相关系数的定义,随机变量 的相关系数 定义为,或记为,4,、不相关,若 ，则称随机变量,X,与,Y,不相关,。,注：,独立一定不相关，不相关不一定独立。,则 相互独立当且仅当 不相关,独立一定不相关,不相关不一定独立,.,但如果 服从,二维正态分布,则 相互独立与 不相关等价,