第九章 力学量本征值问题的代数解法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 力学量本征值问题的代数解法,本征值问题的解法,分析解法,代数解法,9.1,一维谐振子的,Schr,dinger,因式分解法,升、降算符,一、,Hamilton,量的代数表示,一维谐振子的,Hamilton,量可表为,采用自然单位,则,而基本对易式是,令,利用上述对易式，容易证明,(,请课后证明,),其逆为,此时能量以 为单位,长度以 为单位,动量以 为单位,将两类算符的关系式,代入一维谐振子的,Hamilton,量,上式就是,Hamilton,量的因式分解法，其中,由于,而且在任何量子态 下,所以 为正定厄米算符,有,二、,Hamilton,量的本征值,证明,:,设,|,n,为 的本征态,(,n,为正实数,),，即,下面证明，若 的本征值为,则 的本征值 为,(,自然单位，,),利用,及,容易算出,因此,但上式,由此可得,这说明，也是 的本征态，相应本,征值为 。,如此类推，从 的本征态 出发，逐次,用 运算，可得出 的一系列本征态,相应的本征值为,因为 为正定厄米算子，其本征值为非负,实数。,若设最小本征值为 ，相应的本征态为,则,此时,即 是 的本征值为,0,的本征态,或,.,此态记为 ，又称为真空态，亦即谐振子,的最低能态,(,基态,),，对应的能量本征值,(,加,上自然单位,),为,.,利用,同样可以证明,这说明 也是 的本征态，本征值为,。,利用上式及,从 出发，逐次用 运算，可得出 的全,部本征态：,利用,有,由,可知,已知 是 的本征态，本征值是,0,即 也是 的本征态，本征值是,1,下面看 是否也是 的本征态，本征值,是多少？,显然,故 也是 的本征态，本征值是,2,这样,对本征态,本征值为,本征值为,所以，可以成为上升算符，可以称为,下降算符。,证毕。,这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。,利用归纳法可以证明（课下证）：,（即 ）的归一化本征态可表为,且满足,为什么？,由,得,所以,从而有,而由,得,所以,或,上式作用任一左矢 ，有,利用,有,代入上式,即,上式对任意,m,都成立，所以,或,这就是下降和上升算符的定义,很有用处。,或,利用,上式变为,移项，得,连同,利用,以及,容易证明：,拿第一式的证明为例。,三、,升降算符的应用,1.,坐标和动量算符的矩阵元计算,因为,所以,2.,能量本征态在坐标表象中的表示,考虑基态 ，它满足,即,在坐标表象中，上式可以写为,插入完备性关系,得,已经知道,令 ，代入前式可以得出,利用积分中,函数的性质可,得,解出得,添上自然单位，可得出在坐标表象中的归一,化基态波函数为,而坐标表象中激发态的波函数为,添上长度的自然单位,由于,可得,所以,上次课复习,升降算符的应用,总之，,S,-,方程的因式分解与经典粒子束缚,运动,轨道的闭合性,有某种关系。,另外还可以证明，对于,r,幂函数形式的中心,势 ，只当 （,Coulomb,势）或,(,各,(,各向同性谐振子势,),时，径向,S,-,方,程才能因式分解,.,四、,S-,方程,因式分解的条件,上述的因式分解法是,Schr,dinger,提出来的。,可以证明，对于存在束缚态的一维势阱,V,(,x,),，,只要基态能量 有限,存在,则可定义相应,的升降算符，并对,Hamilton,量进行因式分解。,9.2,角动量算符的本征值和本征态,前面我们学习了轨道,角动量、自旋角动量,的性质（本征值和本征态）以及它们之间,的耦合问题。,一、,一般角动量算符的对易关系,如果,算符,j,，其三个分量 满足下列,对易关系,下面我们对角动量算符的本征值和本征态作一般的讨论。,则以 作为,三个分量的矢量算符,j,称为角动量算符。,称为角动量的基本对易式。,轨道角动量,l,自旋角动量,s,以及总角动量,l,+,s,=,j,的各分量都满足此基本对易式。,以下根据此基本对易式及角动量算符的,厄米性来求出,角动量的本征值和本征态。,且,式,定义,利用角动量分量间的一般对易式容易证明：,定义,其逆表示为,同样可以证明：,利用角动量的定义及分量的对易关系，上,述几个式子是很容易证明的。,利用,有,所以,二、,角动量本征值和本征态的代数解法,前面我们在粒子数表象时所用的对易关系式,是针对玻色子体系而言的。,我们知道，光是玻色子，在被量子化后形成,“光子”的概念。,同样，晶体里的格波（其实就是一种声波）,的能量也是量子化的。人们把量子化了的格,波叫做“声子”。声子和光子一样都是玻色子。,1.,声子的概念,2.,角动量本征值和本征态的代数解法,考虑二维各向同性谐振子，相应的两类声子,产生和湮灭算符用 和 表示,并满足,定义正定厄米算符,其本征值分别为 和 ，,它们分别表示两类声子的数目。,的归一化共同本征态可表为,定义算符,由此定义角动量升降算符,利用对易式,容易证明,这正是角动量的基本对易式 。,因为,所以,同理可证其它几个分量对易式。,同样可证明关系式,其中,其本征值为,这样，的本征值可表为 ，且,即角动量量子数,j,只能取非负整数或半整数。,的共同本征态,由前述可知，是,但,的共同本征态，且,故,也是,考虑到角动量本征态的习惯写法，不妨将,该写为 ，并定义,现在的问题是，对于给定的,m,可以取那些值？,下面予以分析：,即,m,可以取 这 个值。,而,的逆可表示为,式,因而,可改写为,相应地，利用,可改写为,式,其中,另外，请同学们课下证明一个非常重要的关,系式,提示：,首先证明 是 的属于本征值,的本征函数；,2.,利用 本征值的非简并性，即,得出 的值。,请参阅陈鄂生,量子力学习题与解答,p55,作业：,p260 2,3,9.3,两个,角动量的耦合与,CG,系数,前面我们讨论过两个具体,角动量的耦合,自旋与轨道,角动量的耦合,自旋与自旋,角动量的耦合,下面讨论两个一般,角动量的耦合,一、两个,角动量的耦合,设 与 分别表示第一和第二粒子的,角动,量，即（取 ）,这两个,角动量分别对不同粒子的态矢运算，,属于不同的自由度，因而是彼此对易的：,定义两个,角动量之和,这就是两个,角动量耦合的一般定义。,利用两个,角动量各分量满足的基本对易式，,同上节介绍的方法可以证明,或表成,设 的共同本征态记为 ，即,类似地，的共同本征态记为,对两个粒子组成的体系，如果只考虑角动量,所涉及的自由度，其任何一个态必然可以用,来展开。,即 可作为体系力学量完全集,而,是它们的共同本征态。,以共同本征态 为基矢的表象称,为非耦合表象。,1.,非,耦合表象,在给定 的情况下，,所以 有 个，即它,们张开 维子空间。,2.,耦合表象,考虑到,也构成两粒子体系的一组力学量完全集，共同本征态记为 ，即,以共同本征态 为基矢的表象称为,耦合表象，基矢简记为 。,二、两种,耦合表象基矢之间的关系,CG,系数,问题：,当给定 ，可取哪些值？基矢,与 之间的关系如何？,1.,Clebsch-Gordan,系数,令,上式的物理意义是明显的。,我们将展开系数 称之为,Clebsch,-,Gordan,系数，简称,CG,系数。,显然,CG,系数是 维子空间中耦合,表象基矢与非耦合表象基矢之间的幺正变换,矩阵元。,考虑到,将上式两边分别作用到下式两边,有,因为,所以,将,代入上式左边，并移项得,由于 是正交归一完备基矢，上式要,成立，展开系数必然要满足下列条件,对,而 是不能为,0,的,？,所以只有,即,故在式,的两个求和指标中，只有一个是独立的，从,而上式可以写成如下的形式,上次课复习,则以 作为,三个分量的矢量算符,j,称为角动量算符。,第一次课遗留的问题：,如何由升算符的定义式导出降算符的定义式？,定义正定厄米算符,的归一化共同本征态可表为,我们将展开系数 称之为,Clebsch,-,Gordan,系数，简称,CG,系数。,CG,系数有什么性质？,根据基函数的性质，表象的基矢具有相位不定性，从而两个表象之间的幺正变换也有一个相位不定性。,由前所述可知,CG,系数实际上是两个表象基矢的幺正变换或重叠积分，它可能是复数。,2.,Clebsch-Gordan,系数的性质,1,）,Clebsch-Gordan,系数的实数性,如果相位选择适当,就可以使,CG,系数成为实数。,及,在此情况下,有下两式,代入正交归一关系,有,或,即,当 时，给出,利用波函数的正交归一性，显然有,由于,CG,系数是实数，所以由式,取逆得,上式很容易理解：两个表象基矢的转换是相互的，不过要利用条件,将上式代入正交归一性关系,2,）,Clebsch-Gordan,系数的幺正性,当 时，上式进一步写为,或,得,上式正式,CG,系数幺正性的体现。,三、,j,的取值范围,已经知道，给定 ，有,即,所以,按照角动量的矢量耦合性质，,给定 ，,见右图。,除此之外，,j,还可以取哪些值？,j,min,是多少？,这可以从,m,=,m,1,+,m,2,及下两式,定出的,m,值给出：,上表中箭头方向表示,m,的一组取值。,这个规律可以定出,对每一组,m,值,j,取什么值,.,从上表中可以看出，,j,的取值除,之外，还可以取 ，依次递减,1,，直到,问题：,j,min,=?,方案：由空间维数确定。,由,非耦合表象基矢 维数：,耦合表象基矢 维数可以这样计算：,对于一个,j,，,m,取,2,j,+1,个值；而,j,的取值从,j,max,到,j,min,，故总的维数是,(,实际上是等差数列的求和,),而作表象变换时，空间维数是不可能变化的，则有,即,由此可得,j,min,与,j,1,、,j,2,的关系：,当 时，,当 时，,所以在给定,j,1,、,j,2,的情况下,j,的取值范围如下：,这是我们所熟悉的形式。,上述结果可概括为三角形法则：,三角形任何一边之长不大于另外两边之和，不小于另外两边之差。见下图,作业：,p262 6,8,