第1节多元函数的基本概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第八章 多元函数微分学,8.1,多元函数的基本概念,8.2,偏导数与高阶偏导数,8.3,全微分及其应用,8.4,多元复合函数的求导法则,8.5,隐函数的求导法则,8.6,多元函数的极值及其,应用,返 回,微积分（下册）,CALCULUS,第八章 多元函数微分学,返回,第一节 多元函数的基本概念,第八章 多元函数微分学,目的要求,1.,了解平面区域、点的邻域、开区域与闭区域等概念,2.,理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域,重点,1.,二元函数的概念,2.,二元函数的连续性的概念,3.,了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质,第一节 多元函数的基本概念,在,一元函数,的微积分中，所讨论的对象都是一元函数,y=f(x),，即函数只依赖于一个自变量。,在数学上，这种由多个因素才能确定的变量，就是,多元函数,。,但在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形。,第一节 多元函数的基本概念,一元函数的定义域是在,数轴,上讨论，一般是一个区间（开区间、闭区间、半开半闭区间）。,平面上进行讨论，二元函数,z=f,(,x,y,),的定义域,在几何上表示一个,平面区域,。,量多了一个，它的定义域很自然地要扩充到,但是对于二元函数而言，由于自变,一、平面区域,2.1,多元函数的基本概念,(,不包含圆周,),，,为半径的圆的内部,d,为一正数，,d,1,、邻域,（一）平面区域,一、平面区域,去心,邻域,称为点,邻域,(neighborhood),E,的边界。,2,、区域,(region),(boundary),例,:,(point of accumulation),2,、区域,(region),的聚点,.,例,:,(point of accumulation),2,、区域,(region),的聚点,.,如果点集,E,内任意两点都能用全属于,E,的折线或曲线连接起来，则称,E,为连通的,.,连通的开集称为开区域，简称区域,.,(6),连通：,(7),区域：,例如，,例如，,区域及其它的边界所成的集合称为闭区域,.,2,、区域,(region),例,例,为无界开区域,.,区域,区域,(8),有界与无界区域：,否则称,E,为,无界区域,.,为有界闭区域,.,2,、区域,(region),注：,n,维空间中邻域、区域等概念,内点、边界点、区域等概念也可定义,邻域：,2,、区域,(region),导言：,多元函数是多元函数微积分学研究的对象,.,同一元函数类似对于多元函数也有极,限、连续等基本概念,.,二、多元函数的概念,在多元函数中的推广，它与一元函数相关内容,类似,且密切相关，在这部分内容的学习中应注,意与一元函数的,对比,.,在研究方法上把握,一般,与,特殊,之间辩证关系,.,这些内容作为一元函数,第一节 多元函数的基本概念,矩形面积,S,与长,x,，宽,y,之间关系为,其中长,x,和宽,y,是两个独立的变量,例,2,著名 的生产,函数为 ，,这里 为常数，,S=x y,(,x,0,y,0),例,1,矩形面积,S,有惟一确定值对应,.,当,x,y,的值取定后,内,在它们变化范围,Q,就,有惟一确定的值相对应,.,值取定后,当,K,L,的,Q,是一个依赖于,K,和,L,的变化而变化的量,Q,表示产量，,分别表示投入的劳动力数量和资本数量，,在西方经济学中，,二,、,多元函数的概念,第一节 多元函数的基本概念,其中 称为,自变量,，,设,D,为 中的一个非空点集，,z,D,y,x,z,f,记为,实数,z,的取值范围称为,值域,，,记为,的变化范围,D,称为函数的,定义域,，,量,，,z,称为,因变,又记为,记为,f,：,D,R,，,二元函数,，,则称映射,f,为定义在,D,上的,一确定的实数,z,与之对应，,都有,惟,使得对于,D,中,每一个有序实数对,射,f,，,若有一个映,1.,定义,二,.,多元函数的概念,类似地可定义三元及三元以上函数,定义域,D,(,f,),、对应法则,f,函数的表示法：,（,1,）二元显函数,z=f(x,y),（,2,）二元隐函数,F(x,y,z)=0,确定函数的两要素：,多元函数,二,.,多元函数的概念,2.,二元函数的定义域,当用某个解析式表达二元函数时，,凡是使解析式,有意义的自变量所组成的,平面点集,为该二元函数的,定义域,，,例,1,解,所以函数的定义域为,x,y,二元函数的定义域通常为,平面区域,.,要使函数有意义须满,足,有界闭区域,二,.,多元函数的概念,(,自然定义域,),例,2,解,函数的定义域为,要使函数有意义须满足,无界开区域,2.,二元函数的定义域,例,3,解,要使函数有意义,必须,故所求定义域为,有界闭区域,2.,二元函数的定义域,Solution.,所求定义域为,例,4,2.,二元函数的定义域,Solution.,Solution.,例,5,例,6,换元法,3.,二元函数的几何图形,设函数,z,=,f,(,x,y,),的定义域为,D.,平面上的投影,.,而定义域,D,正是这曲面,在,Oxy,该几何图形通常是,一张曲面,.,这个点集称为,二元函数的图形,.,得到空间点集,D,上的一切点时,当,(,x,y,),取遍,确定空间一点,这样,就,对应的函数值为,点,对于任意取定的,D,一元函数 表示,x,y,平面上的,一条曲线,y,=,f,(,x,),例,2,例,1,3.,二元函数的几何图形,例,4,图形如右图,.,例,3,如右图，为,球面,.,单值分支,:,3.,二元函数的几何图形,4.,多元函数的定义,一个自变量,.,两个自变量,.,三个自变量,.,n,个自变量,.,n,元函数在几何上表示,n,+1,维空间上的一般曲面,.,二,.,多元函数的概念,注意,(1),多元函数也有单值函数和多值函数，如,在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后,再分别加以讨论,.,(2),多元函数也有分段函数，如,(3),点函数,u=f,(,P,),能表示所有的函数,.,(4),函数有加减乘除数乘及复合运算,(,略,),二,.,多元函数的概念,(5),一元函数的,单调性,、,奇偶性,、,周期性,等性质的定义在多元函数中不再适用，但,有界性,的定义仍然适用,.,二,.,多元函数的概念,三,.,多元函数的极限,设函数,z,=,f,(,x,y,),在点 的某一去心,方式,趋于,定点,时,或,记作,的,极限,，,则称,A,为函数,z,=,f,(,x,y,),常数,A,函数值,f,(,x,y,),趋于一个,确定,如果,动点,P,(,x,y,),在该邻域内以,任意,邻域内有定义,1.,定义,（一）二元函数的极限,(,二重极限,),指当,P,(,x,y,),以,任意方式与方向,趋于定点,P,0,(,x,0,y,0,),二元函数极限的说明,：,(2),对于二元函数极限的,不存在,以不同路径趋于点 时,在某一路径上点,P,(,x,y,),趋于点 的极限不存在,则可以断定函数在 点的极限不存在,.,特征,.,即极限趋近方式具有,任意性,于,A,.,函数都无限接近,（,1,）对于二元函数极限的,存在,是,或,函数趋于不同的值,;,则有,若当点,P,(,x,y,),（两种路径）,三,.,多元函数的极限,例,1,考察函数 在 处的极限是否存在,.,x y,-1.0,-0.5,-0.2,0,0.2,0.5,1.0,-1.0,0.00,0.60,0.92,1.00,0.92,0.60,0.00,-0.5,-0.60,0.00,0.72,1.00,0.72,0.00,-0.60,-0.2,-0.92,-0.72,0.00,1.00,0.00,-0.72,-0.92,0,-1.00,-1.00,-1.00,-1.00,-1.00,-1.00,0.2,-0.92,-0.72,0.00,1.00,0.00,-0.72,-0.92,0.5,-0.60,0.00,0.72,1.00,0.72,0.00,-0.60,1.0,0.00,0.60,0.92,1.00,0.92,0.60,0.00,做出函数在点 附近的函数值表，如下,函数 在 处的极限不存在,.,三,.,多元函数的极限,例,1,证明函数 在 处的极限不存在,.,让 沿直线 而趋于 ，,它将随,k,的不同而具有不同的值,.,极限 不存在,.,证,则有,因此，,三,.,多元函数的极限,例,2,讨论函数,解,当,P(x,y,),沿,x,轴,趋于,(0,0),时,当,P(x,y,),沿,y,轴趋于,(0,0),时,当,(,x,y,),(0,0),时的极限。,三,.,多元函数的极限,当,P(x,y),沿,y=kx(),趋于,(0,0),时,.,当,k,取不同值时,取不同值，,三,.,多元函数的极限,确定极限不存在的方法：,（,2,）,找两种不同趋近方式，,此时也可断言,),(,y,x,f,在点,若极限存在,但两者不相等，,例,3,证明 不存在,处极限不存在,例,3,证明 不存在,证,取,其值随,k,的不同而变化,，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,不存在,.,观察,播放,确定极限不存在的方法：,2.,二元函数极限的计算,对于未定型，不再有,LHospital,法则，须化成确定型,.,二元函数极限与一元函数极限具有,类似,的性质与运算法则,.,计算二元函数的极限时，常把二元函数极限转化为一元函数极限问题，再利用四则运算法则、夹逼定理、作变量代换、两个重要极限、无穷小替换、对函数作恒等变换约去零因子、还可利用多元初等函数的连续性,.,三,.,多元函数的极限,解,:,例,4,求,2.,二元函数极限的计算,二元函数极限与一元函数极限具有,类似,的性质与运算法则,.,二元函数极限与一元函数极限具有,类似,的性质与运算法则,.,例,5,求极限,解,例,6,求极限,解,由有界变量与无穷小乘积为无穷小知,2.,二元函数极限的计算,例,6,求极限,解,其中,2.,二元函数极限的计算,Solution.,由夹逼准则得，,例,7,（一）二元函数的极限,Solution.,例,8,（一）二元函数的极限,多元函数的极限,多元函数的极限定义,概念,.,并将其统一为,点函数,形式,.,同二元函数类似，可以定义多元函数的极限,（一）二元函数的极限,小 结,三、二元函数的极限,一、平面区域与,n,维空间,二、二元函数的定义、定义域、图形,作业,P302 1(1),，,2,（,1,）；,4,（,1,3,）,第一节 多元函数的基本概念,