最优控制 第五章 用变分法求解连续最优控制问题—有约束条件的泛函极值.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五章 用变分法求解连续最优控制问题,有约束条件的泛函极值,上节讨论没有约束条件的泛函极值问题。但在,最优控制问题中，泛函,J,所依赖的函数总要受到受控,系统状态方程的约束。解决这类问题的思路是应用,拉格朗日乘子法，将这种有约束条件的泛函极值问,题转化为无约束条件的泛函极值问题。,一、拉格朗日问题,考虑系统,n,维连续可微的矢量函数。,(5-1),式中,；,；,设给定 ，初始状态为,x,(,t,0,)=,x,0,，,终端状态,x,(,t,f,),自由。性能泛函为,寻求最优控制,u,(,t,),，将系统从初始状态,x,(,t,0,)=,x,0,转移到终端状态,x,(,t,f,),，并使性能泛函,J,取极值。,(5-2),将状态方程式,(5-1),写成约束方程形式,应用拉格朗日乘子法，构造增广泛函,式中,(,t,),待定的,n,维拉格朗日乘子矢量。,(5-3),定义纯量函数,称,H,x,u,t,为哈密尔顿函数。则,或,(5-4),(5-5),(5-6),式中,(5-7),对式,(5-5),右边第二项作分部积分，得,将上式代入式,(5-5),，得,(5-8),使,J,取极小的必要条件是，对任意的,u,和,x,，,都有,J,=0,成立。,设,u,(,t,),和,x,(,t,),相对于最优控制,u,*,(,t,),及最优轨线,u,*,(,t,),的变分为,u,和,x,，计算由,u,和,x,引起的,J,的变分为：,因此得,(5-9),(5-10),(5-11),(5-12),式,(5-9),称为动态系统的伴随方程或协态方程，,又称为伴随矢量或协态矢量。,式,(5-10),即系统的状态方程。,式,(5-9),与式,(5-10),联立称为哈密尔顿正则方程。,式,(5-11),称为控制方程，,这个方程是在假设,u,为任意，控制,u,(,t,),取值,不受约束条件下得到的。如果,u,(,t,),为容许控制，,受到 的约束，,u,变分不能任意取值，,那么，关系式 不成立，这种情况留待极,小值原理中讨论。,(5-13),(5-14),式,(5-12),称为横截条件。常用于补充边界条件。,例如，若始端固定，终态自由时，由于,x,(,t,0,)=0,，,x,(,t,f,),任意，则有,若始端和终端都固定时，,x,(,t,0,)=0,，,x,(,t,f,)=0,则以,作为两个边界条件。,(5-16),(5-15),实际上，上述泛函极值的必要条件，亦可,由式,(5-6),写出欧拉方程直接导出。,即,(5-17),应用上述条件求解最优控制的步骤如下：,1),由控制方程,解出,2),将,u,*,代入正则方程解两边边值问题，求,x,*,、,*,。,3),再将,x,*,、,*,代入得,为所求。,例,1,：有系统如图,1,所示。欲使系统在,2,s,内从状态,转移到,，使性能泛函,，试求,u,(,t,),。,解：系统状态方程及边界条件为,由式,(5-7),，得,由欧拉方程，得,5,个未知数,x,1,x,2,1,2,u,，由,5,个方程联立求得通解,4,个积分常数,C,1,C,2,C,3,C,4,由,4,个边界条件,解得,因此，最优解为,最优控制,u,*,(,t,),及最优轨线,x,*,(,t,),如图,2,所示。,例,2,：设问题同例,1,。但将终端状态改为,(2)=0,，,(2),自由，即终端条件改成部分约束、部分自,由。重求,u,*,(,t,),、,x,*,(,t,),。,解 正则方程及控制方程与例,1,完全相同，只是,边界条件改成 时 ，时,，代入例,1,的通解中可确定积分,常数：,于是得,u,*,(,t,),和,x,*,(,t,),的图像见图,3,。,比较上述结果可见，即使是同一个问题，,如果终端条件不同，其最优解也不同。,二、波尔札问题,设系统状态方程,初始状态,x,(,t,0,)=,x,0,，终始状态,x,(,t,f,),满足,式中,N,q,维向量函数，,n,q,。,(5-18),(5-19),性能泛函,其中,、,L,都是连续可微的数量函数，,t,f,是待求,的终端时间。,最优控制问题是寻求控制矢量,u,*,(,t,),，将系统从,初态,x,(,t,0,),转移到目标集,N,x,(,t,f,),t,f,=0,上，并使,J,取极小。,(5-20),在这类极值问题中，要处理两种类型的等式约,束。一是微分方程约束，一是终端边界约束。根据,拉格朗日乘子法，要引入两面两个乘子矢量，一个,是,n,维,(,t,),，另一个是,q,维,，将等式约束条件泛函,极值化成无约束条件泛函极值问题来求解。,为此，构造增广泛函,写出哈密顿函数,(5-22),(5-21),于是,(5-23),对上式中最后一次作分部积分，得,(5-24),(5-25),(5-26),(5-27),这是一个可变端点变分问题。考虑,x,(,t,),，,u,(,t,),，,t,f,相对于它们最优值,x,*,(,t,),，,u,*,(,t,),，,t,*,f,的变分，并计,算由此引起,J,的一次变分,J,。设,图,4,可变终端各变分间的关系,从图,4,可知在端点处变分之间存在下列近似关系,式中,x,(,t,*,f,),x,在,t,*,f,时的一次变分；,x,(,t,*,f,+,t,f,),x,在,t,f,=,t,*,f,+,t,f,时的一次变分。,式,(5-28),描述了在可变终端情况下，,x,在这两个时刻,上变分的近似关系，近似式中忽略了高阶无穷小量。,(5-28),考虑到式,(5-24),右边第一项和第二项的一次,变分各有两项：,因此，有,(5-29),注意到,t,f,、,x,、,u,任意性，及泛函极值存在,的必要条件,J,=0,式,(5-29),可得极值必要条件如下：,(5-30),式中,H,x,(,t,f,),u,(,t,f,),(,t,f,),t,f,函数,H,最优轨线终端处的值。,边界条件,x,(,t,0,)=,x,0,(5-32),终端时刻由下式计算,(5-31),终端时刻由下式计算,式中,H,x,(,t,f,),u,(,t,f,),(,t,f,),t,f,函数,H,最优轨线终端处,的值。上述总共个,2,n,+,r,+,q,+1,方程，可联解出,2,n,+,r,+,q,+1,个变量。,(5-32),最后，分析哈密尔顿函数沿最优轨线随时间,的变化规律。哈密顿函数,H,对时间的全导数为,(5-33),如果,u,为最优控制，必满足,及,(5-34),因此，有,上式表明，哈密顿函数,H,沿最优轨线对时间的,全导数等于它对时间的偏导数。,当,H,不显含,t,时，恒有,即,常数,(5-35),这就是说，对定常系统，沿最优轨线,H,恒为常值。,例,4,：给定系统状态方程为,设初始状态,x,(0)=,0,，终端状态约束曲线,x,1,(1)+,x,2,(1)-1=0,求使性能泛函,取极小时的最优控制,u,*,(,t,),及最优轨线,x,*,(,t,),。,解 这是个终端时间,t,f,给定，但终端状态受约束,的拉格朗日问题。,哈密顿函数,由性能泛函取极值的必要条件，得,它们的通解为,由边界条件确定积分常数,代入解得,由终端约束方程,x,1,(1)+,x,2,(1)=1,可解出,=-3/7,。,最优解,结果如图,5,所示,例,5,：设一阶系统状态方程为,边界条件,x,(0)=1,和,x,(,t,f,)=0,。终端时刻,t,f,待定，,试确定最优控制,u,*,，使下列性能泛函,为极小。,解 这里,哈密顿函数为,控制方程,正则方程,由边界条件,x,(0)=1,和,x,(,t,f,)=0,又由式,(5-32),得,即,而,u,(,t,f,)=-,(,t,f,),代入上式，得,其解为,由于,因此，有,最优控制,代入状态方程得,由初始条件,x,(0)=C=1,，故最优轨线,再以终端条件,x,(,t,f,)=0,代入上式，得,故最优终端时刻,最优解如图,6,所示。,