第三章第三节 线的投影.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3 3,直线的投影,前面讲到画物体的三视图就是按照投影方法画出物体上的所有轮廓线。在这一节里我们着重分析如何在投影图中确定轮廓线段的位置以及轮廓线段的投影长度。,几何中定义的直线是没有端点、无限长的。这里所说的直线实际指的是直线段，也可以把直线的说法理解为对一类几何元素的统称。,从这个意义上讲，点的投影是学,习直线投影的基础。实际上也是学习后面其他内容的基础。,一、直线的投影,直线的投影一般仍为直线，特殊情况为一点。,对于一般情况，由于两点可以确定一条直线。因此作直线的投影可以归结为作直线两端点的投影。,作图步骤：,例：根据,AB,直线的两面投影补出第三面投影。,2.,投影连线的交点为,A,、,B,两端点的侧面投影,连接,A,、,B,的侧面投影完成作图,1.,按点的投影规律分别作,A,、,B,两点投影的连线,这样作对吗？,不对，找点时要细心，不要把点对错了。,改正图中的错误,(,左图）。,3 3,直线的投影,下面分别研究各种直线的定义及投影特点。,二、各种位置直线的投影,为了研究问题方便，根据直线在三投影面体系中对投影面的相对位置不同，将直线分为：,1.,投影面平行线,2.,投影面垂直线,3.,投影面倾斜线,1.,一般位置直线,定义：与三个投影面均成倾斜的直线,特殊位置直线,一般位置直线,直线与,H,、,V,、,W,投影面的倾角分别用,、,、,表示，见图中的标注。,3 3,直线的投影,此外，一般位置直线的三个投影与各投影轴都成倾斜。,二、各种位置直线的投影,1.,一般位置直线,定义：与三个投影面均成倾斜的直线,一般位置直线投影特点：,由于与三个投影面成倾斜故三个投影都缩短,三个投影均不能反映,、,、和,角实际大小,3 3,直线的投影,二、各种位置直线的投影,2.,投影面平行线,定义：平行于某一投影面，倾斜于另两投影面的直线。,由于有,V,、,H,、,W,三个投影面，按照定义就有三种不同的投影面平行线。,正平线,平行,V,面，而与,H,面、,W,面成倾斜,水平线,平行于,H,面，与,V,、,W,面成倾斜,侧平线,平行于,W,面，与,V,、,H,面倾斜,3 3,直线的投影,投影面平行线的投影特点：（以水平线为例）,水平线的水平投影反映实长（正投影的真实性）,水平线的水平投影反映,、,角的实际大小,水平线的正面投影平行,X,轴、侧面投影平行,Yw,投影轴。,正平线、侧平线也有类似特点,二、各种位置直线的投影,2.,投影面平行线,定义：平行于某一投影面，倾斜于另两投影面的直线。,3 3,直线的投影,二、各种位置直线的投影,3.,投影面垂直线,定义：垂直于某一投影面的直线（与另两投影面平行）。,由于有,V,、,H,、,W,三个投影面，按照定义也有三种不同的投影面垂直线。,正垂线,垂直于V面，而与H面、W面平行,铅垂线,垂直于H面，与V、W面平行,侧垂线,垂直于W面，与V、H面平行,3 3,直线的投影,投影面垂直线的投影特点：（以铅垂线为例）,铅垂线的水平投影为一点（正投影的积聚性,）,铅垂线的正面投影和侧面投影反映实际长度,正垂线、侧垂线也有类似特点,二、各种位置直线的投影,3,.,投影面,垂直,线,定义：垂直于某一投影面的直线（与另两投影面平行）。,3 3,直线的投影,二、各种位置直线的投影,例：判断图中各直线的空间位置,。,3 3,直线的投影,二、各种位置直线的投影,例：试分析立体表面上各线段的空间位置,。,3 3,直线的投影,三、点与直线,点与直线的相对位置主要是从属关系，即通常所说的点是否在直线上,。,1.,点从属于直线,点从属于直线则点的各个投影必从属于直线的各同面投影。,反之，若点的各个投影从属于直线的同面投影，则该点必定从属于此直线。,问：若,AC,:,BC=k,，,ac:bc,=?,ac:bc,=?,ac,:,bc,=?,从属于直线的点分割线段的长度之比等于其投影分割线段投影长度之比。即直线上点的定比性。,因此有,ac:cb,=,ac:cb,=,ac:cb,=k,2.,点不从属于直线,若点不从属于直线，则点的投影不具备上述性质。,例:,判断图中点与直线的从属关系,。,作图分析,：,由于,AB,直线为一般位置。而给出的,C,点的两投影分别在,AB,线的同面投影上，故可认定,C,点从属于,AB,直线。,EF,线为一侧平线，虽然,k,点的两投影在,EF,线的同面投影上，但由于,AB,直线位置的特殊性，仍需要通过作图认定。,判别方法,1,：补出,k,点与,EF,线的侧面投影,若,k,在,e,f,上则,k,点从属于,EF,线。反之则不属于,EF,线。,判别方法,2,：由定比性知，若,K,点在直线,EF,上则应满足,EK:FK=e,k,:f,k,=,e,k:f,k,可按此道理作图判别，作图过程如图示。,四、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置有三种情况，,即相交、平行和交叉,。,平行、相交的两直线属于共面直线，交叉的两条直线为异面直线。这里要分析的是当两直线处于相交、平行或交叉的相对位置时，两直线的投影特点。,1.两直线平行,空间平行的两直线其投影是否还平行呢,？,设,AB,、,CD,两直线在空间平行，投影的形成如图所示。,因,ABCD,，所以两投影平面互相平行。,此外，可以将AB、CD的投影ab、cd看成是投影平面与H面的交线，故两平行的投影平面与H面的交线必然平行,。,因此可得两平行直线的投影特点：空间平行的两直线，其同面投影必定平行。反之，若两直线的各个投影都平行则该两直线在空间必定平行。,3 3,直线的投影,四、两直线的相对位置,2.两直线相交,图中,AB,、,CD,两直线在空间相交，可以看到两直线的各同面投影均相交。其投影的交点即为两直线交点的投影。,因此可得两相交直线的投影特点,：,空间相交的两直线，其同面投影必定相交，交点为两直线所共有，且交点的投影应符合点的投影规律。,根据上述结论，在解决相交的问题时常常要借助于交点,。,3 3,直线的投影,例：,1.,过,S,点任作一直线与,AB,线相交,2.,过,S,点作一水平线,ST,与,AB,线相交。,作图分析,1:,题目没有其他要求，即只要作出的图形符合相交的结论就可。最简单的方法是将,S,点直接与,AB,线的任一端点相连接。,作图步骤如图所示。,作图分析2,:,按题目要求，ST线既要符合两直线相交的结论，同时又要,具有,水平线的投影特点,。,作图步骤如图所示。,前面介绍了两直线相交的投影特点，从给出的,AB,、,CD,两直线的投影图来看，两面投影均相交，,但交点不符合点的投影规律，这是怎样,形成的呢？,从两直线的直观图看到，两直线投影的交点实际上是直线上重影点的投影。投影的交点是,AB,线上的,E,点和,CD,线上的,F,点的重影。两直线交叉的作图问,题主要是判断重影点的可见性。,3.两直线交叉,判别方法：,将各重影点标上字母或者数字，再按照坐标大的点挡住坐标小的点的方法判别，并将被挡住的点括住。,3 3,直线的投影,问：两直线在空间成垂直相交或交叉，什么情况下它们的投影仍成垂直,？,你可能会很快想到，两条线都平行于某一投影面,。,对的，不过这只是上述问题中的一种答案，下面我们要讨论的是第二种情况。,五、一边平行于投影面的直角投影,从标题上可以想到，若两直角边中的一条边与某投影面平行，则两者在该投影面上的投影仍保持着垂直关系。这一说法称为,直角投影定理,。,现以下图为例予以证明,已知：,ABBC,，,BCH,面，,AB,倾斜于,H,面。,求证：,abbc,证明：,BCH,面,bcBC,又,BCAB,，,BCBb,BCABba,平面，,bcABba,平面,bcab,即,abc,=90,证毕,例1.已知矩形ABCD的水平投影以及AB边的正面投影ab完成该矩形的正面投影图。,作图分析：由于矩形各边互相垂直，且AB边为一正平线根据直角投影定理，则有abad,。,求得,d,后再根据矩形对边相平行的关系求得,c,，连接各点完成作图。,作图步骤,：,一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投影面的倾角。,1.,几何分析,2.,作图要领,用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。,3.,直角三角形,的四个要素,实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角,。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。,3.4,一般位置线段的实长及对投影面的倾角,几何分析,|,z,A,-z,B,|,AB,A,B,b,b,a,a,C,X,O,|,z,A,-z,B,|,X,a,a,b,b,AB,ab,|,z,A,-z,B,|,AB,|,z,A,-z,B,|,ab,O,例,5,已知 线段的实长,AB,以及,ab,和,a,，,求它的正面投影,ab,。,a,X,a,b,A,O,B,b,0,bb,0,bb,0,b,b,