2025年备战中考数学一元二次方程组综合题.doc

备战中考数学一元二次方程组综合题

一、一元二次方程
1．某中心都市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格发售，由于国家出台了有关调控房地产政策，开发商通过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元价格销售．
（1）求平均每次下调百分率；
（2）房产销售经理向开发商提议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理方案对购房者与否更优惠？为何？
【答案】（1）平均每次下调百分率为10%．（2）房产销售经理方案对购房者更优惠．
【解析】
【分析】
（1）根据运用一元二次方程处理增长率问题规定，设出未知数，然后列方程求解即可；
（2）分别求出两种方式增长率，然后比较即可.
【详解】
（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理方案对购房者更优惠．

2．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油反复运用率为60%，按此计算，加工一台设备实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油反复运用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备实际油耗量是多少公斤？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅减少了润滑油用油量，同步也提高了用油反复运用率，并且发目前技术革新前基础上，润滑用油量每减少1kg，用油反复运用率将增长1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油反复运用率为61.6%．
①润滑用油量为80kg，用油量反复运用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备润滑用油量是多少公斤？用油反复运用率是多少？
【答案】（1）28（2）①76%②75，84%
【解析】
试题分析：（1）直接运用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油反复运用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①运用润滑用油量每减少1kg，用油反复运用率将增长1.6%，进而求出答案；
②首先表达出用油反复运用率，进而运用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x公斤，则
x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，
整理得：x2﹣65x﹣750=0，
（x﹣75）（x+10）=0，
解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），
60%+1.6%（90﹣x）=84%，
答：设备润滑用油量是75公斤，用油反复运用率是84%．
考点：一元二次方程应用

3．已知有关x一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．
（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等实数根；
（2）若方程一种根是2，求m值及方程另一种根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m值为±，方程另一种根是5．
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式，运用根鉴别式△=b2-4ac证明判断即可；
（2）根据方程根，运用代入法即可求解m值，然后还原方程求出另一种解即可.
【详解】
（1）证明：
∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，
∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，
∵m2≥0，
∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等实数根；
（2）解：∵方程一种根是2，
∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，
∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，
即m值为±，方程另一种根是5．
【点睛】
此题重要考察了一元二次方程根鉴别式，纯熟掌握一元二次方程根鉴别式与根关系是关键.
当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等实数根；
当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等实数根；
当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.

4．已知：有关方程有两个不相等实数根．
（1） 用含式子表达方程两实数根；
（2）设方程两实数根分别是，（其中），且，求值．
【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是有关x一元二次方程．
∴
由求根公式，得
． ∴或
（II），∴．
而，∴，．
由题意，有
∴即（﹡）
解之，得
经检查是方程（﹡）根，但，∴
【解析】
（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再运用求根公式即可求出方程两根即可；
（2）有（1）可知方程两根，再有条件x1＞x2，可懂得x1和x2数值，代入计算即可．
一位数学老师参与本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节省用水、保护水资源，是科学发展观重要体现.根据这种理念，本市制定了一套节省用水管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反应了每月收取水费（元）与每月用水量（吨）之间函数关系.
请你解答下列问题：

5．由图看出，用水量在m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m吨，需要加收．

6．从图象来看，该函数是一种分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．
【小题1】只需把x代入函数体现式，计算出y值，若与表格中水费相等，则知收取方案．

7．某小区决定把一块长，宽矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相似矩形) ，空白区域为活动区，且四周4个出口宽度相似，当绿化区较长边为何值时，活动区面积达到?

【答案】当时，活动区面积达到
【解析】
【分析】
根据“活动区面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.
【详解】
解:设绿化区宽为y，则由题意得
.
即
列方程:
解得 (舍)，.
∴当时，活动区面积达到
【点睛】
本题是一元二次方程应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．

8．已知x=﹣1是有关x方程x2+2ax+a2=0一种根，求a值．
【答案】1
【解析】试题分析：根据一元二次方程解定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到有关a一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．
试题解析：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得
1﹣2a+a2=0，
解得a1=a2=1，
因此a值为1.

9．若有关x一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．
（1）求a取值范围；
（2）当a为符合条件最大整数，求此时方程解．
【答案】（1）a≤；（2）x=1或x=2
【解析】
【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根鉴别式△=b2﹣4ac≥0，建立有关a不等式，即可求出a取值范围；
（2）根据（1）确定出a最大整数值，代入原方程后解方程即可得.
【详解】（1）∵有关x一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，
∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤；
（2）由（1）可知a≤，
∴a最大整数值为4，
此时方程为x2﹣3x+2=0，
解得x=1或x=2．
【点睛】本题考察了一元二次方程根鉴别式以及解一元二次方程，一元二次方程根状况与鉴别式△关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

10．有关x一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，运用根鉴别式判断方程根状况；
（2）若方程有两个相等实数根，写出一组满足条件a，b值，并求此时方程根．
【答案】（1）方程有两个不相等实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．
【解析】
【详解】
分析：（1）求出根鉴别式，判断其范围，即可判断方程根状况.
（2）方程有两个相等实数根，则，写出一组满足条件，值即可.
详解：（1）解：由题意：．
∵，
∴原方程有两个不相等实数根．
（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
解：令，，则原方程为，
解得：．
点睛：考察一元二次方程根鉴别式，
当时，方程有两个不相等实数根.
当时，方程有两个相等实数根.
当时，方程没有实数根.

11．有关x一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等实数根．
(1)求k取值范围；
(2)假如k是符合条件最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一种相似根，求此时m值．
【答案】（1）k＜4且k≠2.（2）m=0或m=.
【解析】
分析：
（1）由题意，根据一元二次方程定义和一元二次方程根鉴别式列出有关k不等式组，解不等式组即可求得对应k取值范围；
（2）由（1）得到符合条件k值，代入原方程，解方程求得x值，然后把所得x值分别代入方程x2+mx-1=0即可求得对应m值.
详解：
(1)∵一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等实数根，
∴△=16-8(k-2)=32-8k＞0且k-2≠0.
解得：k＜4且k≠2.
(2)由(1)可知，符合条件：k=3，
将k=3代入原方程得：方程x2-4x+3=0，
解此方程得：x1=1，x2=3.
把x=1时，代入方程x2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0.
把x=3时，代入方程x2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=.
∴m=0或m=.
点睛：（1）懂得“在一元二次方程中，当△=时，方程有两个不相等实数根；当△=时，方程有两个相等实数根；△=时，方程没有实数根”是对解答第1小题关键；（2）解第2小题时，需注意相似根存在两种状况，解题时不要忽视了其中任何一种状况.

12．为了让学生亲身感受合肥都市变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费原则：（1）假如人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）假如超过30人，则每超过1人，人均旅游费用减少2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参与了研学游活动？
【答案】共有35名同学参与了研学游活动．
【解析】
试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参与人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上减少人数×2）×参与人数=3150，得到有关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．
试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参与研学游活动学生数超过30人．
设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：
x[100﹣2（x﹣30）]=3150，
整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，
当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．
当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．
答：该班共有35名同学参与了研学旅游活动．
考点：一元二次方程应用．

13．阅读下面材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一种一元四次方程，根据该方程特点，它解法一般是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①过程中，运用　 　法达到　 　目，体现了数学转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．
【解析】
【详解】
解：（1）在由原方程得到方程①过程中，运用换元法达到降次目，体现了数学转化思想;
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．因此原方程解为x1=﹣3，x2=2．

14．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪颖你可以发现：
当a＞0，b＞0时：
∵（）2=a﹣2+b≥0
∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．
请运用上述结论处理如下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+最小值为　 　．当x＜0时，x+最大值为　 　；
（2）若y=，（x＞﹣1），求y最小值；
（3）如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD面积分别为4和9，求四边形ABCD面积最小值．

【答案】（1）2；﹣2．（2）y最小值为9；（3）四边形ABCD面积最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，0，则也可以按公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将y分子变形，分别除以分母，展开，将含x项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x式子表达出S△AOD，再表达出四边形面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】
（1）当x＞0时，x22；
当x＜0时，﹣x＞0，0．
∵﹣x22，∴则x（﹣x）≤﹣2，∴当x＞0时，x最小值为 2．当x＜0时，x最大值为﹣2．
故答案为：2，﹣2．
（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=（x+1）5≥25=4+5=9，∴y最小值为9．
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD，∴四边形ABCD面积=4+9+x13+225．
当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积最小值为25．
【点睛】
本题考察了配措施在最值问题中应用．对不能直接应用公式，需要对变形才可以应用．

15．已知有关方程有两个不相等实数根，．
求取值范围．
与否存在实数，使方程两实数根互为相反数？
【答案】(1)且；(2)不存在,理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由于方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等实数根x1，x2．得出其鉴别式△＞0，可解得k取值范围；
（2）假设存在两根值互为相反数，根据根与系数关系，列出对应不等式即可求出k值．
【详解】
（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等实数根x1，x2，可得：k﹣1≠0且△=﹣12k+13＞0，解得：k＜且k≠1；
（2）假设存在两根值互为相反数，设为 x1，x2．
∵x1+x2=0，∴﹣=0，∴k=．
又∵k＜且k≠1，∴k不存在．
【点睛】
本题重要考察了根与系数关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．