对一道高考题的研究与教学启示.pdf

.对一道高考题的研究与教学启示 仇盼盼张新全(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥)摘 要:通过对 年全国高考数学新课标卷第 题的研究分析其考查特点探索它的解题思路最后给出试题的解法同时提出该题对高中数学概率与统计的教学启示及如何使数学核心素养落地生根.关键词:高考数学概率与统计数学核心素养 普通高中数学课程标准(年版 年修订版)指出:命题应依据学业质量标准和课程内容注重对学生数学学科核心素养的考查处理好数学学科核心素养与知识技能的关系.数学学科核心素养测试评价的第一个维度就是反映数学学科核心素养的四个方面它们分别为情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思.年全国高考数学新课标卷第 题是一道优质考题全面考查了统计与概率的主干知识、数学阅读、概念理解以及逻辑推理与数学运算等核心素养和能力.真题再现 年全国高考数学新课标卷第 题如下:某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异经过大量调查得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:利用该指标制定一个检测标准需要确定临界值 将该指标大于 的人判定为阳性小于或等于 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率记为()误诊率是将未患病者判定为阳性的概率记为().假设数据在组内均匀分布以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.()当漏诊率().时求临界值 和误诊率()()设 函 数 ()()().当 时求()的解析式并求()在区间 的最小值.试题分析 本题以医学上的漏诊率和误诊率为背景创设问题情境考查了频率分布直方图和概率的计算并将求函数的解析式及其最值问题有机融合试题具有一定的难度和综合性.本题的绝对难度并不大但考生解答情况却很不理想.据考后调查很多考生在阅读题目后便放弃了作答此题有的省份空白卷居然多达近.对于使用此卷的考生本题到底难在哪里?我们认为本题定义了两个新概念 漏诊率和误诊率并且给出了两个频率分布直方图这为考生在理解题意上造成较大困难.同时解答时需要考生在图中标出点 的位置并分别依据两个频率分布直方图来计算漏诊率和误诊率导致许多考生不知道把点放在哪里或不知道用哪个图计算漏诊率或误诊率.总之本题所考查的知识是考生熟悉且常规的但问题情境较为新颖对考生的阅读理解能力和逻辑推理能力要求较高能够较好地考查数学学科核心素养值得我们深入研究与思考.本题共 问但实际包含 个数学问题具体分析如下:第()问要求临界值 和误诊率().首先要明确参数 和误诊率()的意义临界值 表示判定数学之友 年第 期基金项目:合肥基础教育研究院 年度研究项目“互联网 背景下中学数学教师信息素养培养的实践研究”(项目编号:)合肥师范学院哲学社会科学重点项目“双减背景下合肥市提高教育教学水平路径研究”(项目编号:).为阳性或阴性的检测标准误诊率()表示将未患病者判定为阳性的概率.其次求临界值 要求学生能从频率分布直方图中获取有用的数据信息会用样本频率分布直方图估计百分位数.求误诊率()要求学生能从题目阅读中理解误诊率的含义并从频率直方图中获取有用的数据计算出结果.在图中正确标注点 的位置并用相应的面积表示概率是解答问题的关键所在.第()问要求()在区间的解析式和最小值.首先应明确()这个函数模型表示漏诊率()与误诊率()之和临界值 是自变量()是因变量.其次()的解析式是一个分段函数的解析式即对于自变量 的不同取值范围有不同的解析式同时求()的最小值应注意分段求解每一段最小值中的最小者便是所求.试题解法 ()当漏诊率().时求临界值.解题思路:题目约定以事件发生的频率作为相应事件发生的概率则当漏诊率().时对应的漏诊率是患病者频率分布直方图在之间的面积.第()题详解:方法:观察法由图可知当漏诊率().时.方法:先计算最左边直方图的面积因为.所以()().故.方法:易知点 是区间的中点所以.评析:观察法是最快速直接的方法也是命题人设置这一问的首要意图考查了学生读题识图的方法和能力.思维灵活性和观察力较强的学生会运用观察法直接解答但需要强调前提条件此时的临界值是漏诊率().时的临界值不说明前提条件的解答是不正确的这要求学生在解决数学问题时必须严谨、准确这是数学核心素养的重要表现.计算法是解决此问题的另一种方法一题多解体现了不同层次的学生解决问题的能力和效率.通过计算来解决此题需要学生读题后从题目中明确需要解决的问题和相关数据考查了学生的推理能力和计算能力这也是数学核心素养的又一体现.当漏诊率().时反推得出临界值 在区间内由此计算得出临界值 .()求误诊率().解题思路:.误诊率()就是未患病者的频率分布直方图中和(两部分的面积.第()题详解:方法:()(.).().方法:().评析:误诊率是本题的另一新概念应与漏诊率对比理解并找到与之对应的频率分布直方图进行解答.方法 由临界值可知误诊率()表示图中.和(的矩形面积和从概率所表示的几何意义出发解题思维量比较高.此问与“已知漏诊率求临界值”的设问互补更加全面地考查学生数学思维能力.方法 是通过分别表示出.和(所对应的概率再求和.方法 是大多数学生都能想到的解题方法也是命题人设置此问的巧妙所在.当不能立刻想到解决问题的方法时就要冷静思考抽丝剥茧借助已有的知识经验分析现有问题探索问题解决的突破口这样问题也就迎刃而解.()求()的解析式.解题思路:由题意知()和()分别都对应(两个区间因此()是一个分段函数.第()题详解:当 时().().().().().所以()()()(.)(.).当 时().().().().().所以()()()(.)(.).综上可得().(.评析:本问的设置考查学生灵活应用所学知识来解决数学问题的能力在理解题意的基础上找到数学之友 年第 期.相应的函数关系问题就容易解决了此问难在函数关系式是分段的.求分段函数解析式学生需要明确分段区间和解析式的含义.()由()和()两部分构成分开计算更清晰明了也方便检查及时发现错误并改正且此题中的数据多为小数计算时需要小心谨慎.数学运算能力是数学核心素养的重要表现此问与前面的问题看似没有关联但()在实际问题中有着重要的意义此问着重考查学生的数学抽象与数学运算核心素养.()求()的最小值.解题思路:由于函数()是分段函数且每段都是一次函数从函数解析式中可以看出()在闭区间上单调递减在区间(上单调递增所以()在区间的最小值是().第()题详解:当 时()单调递减()().当(时()单调递增()().综上可得 ()在区间 的最小值是.评析:此问的设置与上一问密切相关在求出函数关系式的前提下自然会想到研究它的性质求其最值就水到渠成.分段函数的最值要分段求进而确定整个函数的最值.在解答时有的学生未说明各段区间上函数的单调性而把某一段函数的单调性看作整段函数的单调性从而导致解答错误.函数最值的解法并不唯一设置此问体现了数学知识之间的关联性突出了数学问题与实际生活的密切相关性同时渗透了对学生数学核心素养的考查.教学启示.注重统计过程的考查 首先是收集数据即根据现实问题选择适当的抽样方法获得数据.其次是整理数据即用适当的图表表示数据高中阶段需要掌握六种统计图表:频数分布表、频率分布直方图、条形图、茎叶图、散点图、列联表本题考查的是频率分布直方图.再次是分析数据用适当的统计量描述数据高中阶段主要学习两类数字特征:集中趋势和离散程度.最后是统计推断即根据数字特征和概率做统计推理.掌握并深刻理解以上基本概念是解决概率与统计问题的关键点就如本题中参数 的含义、()和()所表示的概率以及频率分布直方图中蕴含的数学信息在理解基本概念的基础上读题识图将实际问题转化为数学问题问题就能迎刃而解.渗透逻辑推理的培养 逻辑推理是体现数学基本特征的思维品质与关键能力的学科核心素养之一它不仅体现在数学结论的推理论证和几何图形的证明方面还体现在有逻辑地思考问题能够在复杂的情境中把握事物之间的关联用合乎逻辑的数学语言分析和表达.就如本题中阴性与阳性所对应的标准漏诊率与误诊率所对应哪个图表中的数据还有解题时使用的数学逻辑语言都体现了学生逻辑推理和数学思维的水平.重视数学运算的提升 数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养.包括理解运算对象掌握运算法则探究运算思路选择运算方法设计运算程序求得运算结果.概率与统计部分的计算涉及数据较多且数据的形式多样有小数、分数、百分数等多种形式要重视学生深刻理解算理合理选择算法选择合适的数的形式和运算思路要笔算精确结果不能粗略估计或口算最后要必要的检查.“推理是命根子运算是童子功”数学中许多问题都是靠算出来的.因此教学中不能忽视数学运算不能默认学生列出式子就会计算正确的计算结果才是完全解决问题的标志.参考文献:中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(年版 年修订).北京:人民教育出版社.杨会涛胡志奇.如何提高数学阅读能力 以 年高考数学理科全国卷概率统计解答题为例.中学数学杂志():.任子朝陈昂赵轩.加强数学阅读能力考查展现逻辑思维功底.数学通报():.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(年版).北京:北京师范大学出版社.鲁依玲夏玉梅宁连华.基于 分类理论的高考数学试题分析以 年全国数学新高考卷为例.数学教育学报():.数学之友 年第 期