随机变量和其分布和随机变量的数字特征公开课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三节 随机变量及其分布和随机变量数字特性,概念（随机变量、概率分布、分布函数）,离散型随机变量及其分布律,持续型随机变量及其概率密度,概念（数学期望（均值）、方差、有关,系数、矩）,第1页,在概率研究中为何需要引入随机变量？,为了便于数学推理和计算，有必要将随机试验成果数量化，使得可以用高等数学课程中理论与措施来研究随机试验，研究和分析其成果规律性，因此，随机变量是研究随机试验重要而有效工具。,第2页,引入随机变量后，随机试验中任一随机事件就可以通过随机变量取值关系式表达出来，对随机现象记录规律研究，就由对事件及事件概率研究扩大为对随机变量及其取值规律研究.,事件及,事件概率,随机变量及其,取值规律,第3页,怎样引入随机变量概念？,一般地，假如A为某个随机事件，则可以通过如下函数使它与数值发生联络：,假如A发生,假如A不发生,这些例子中，试验成果能用一种数x来表达，这个数x是伴随试验成果不一样样而变化，也即它是样本点一种函数，这种量就称为随机变量。,第4页,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.,.,x,.,R,X,(,),第5页,定义 2.1对于随机试验 E 每一种也许成果，均有唯一一种实数值 X()相对应，称 X()为随机变量，简记为 X.,随机变量,(,Random Variable),概念,第6页,在试验之前只懂得 x也许取值范围，而不能预先必然它将取哪个值.,它取值与试验成果形成对应，,(1),随机变量,X,是定义在样本空间上实值函数，,(2)由于试验成果出现具有一定概率，,X 取值状况,它取值概率分布状况.,伴随试验成果不一样样而取不一样样值，,因此随机变量取每个值和每个确定范围内值也有一定概率.,随机变量取值既具有可变性，也有随机性。这种双重性正是随机变量与一般变量(函数)本质辨别。,第7页,而表示随机变量所取值时,普通采取小写字母,x,y,z,w,n,等,.,随机变量通常用,大写字母X,Y,Z,W,N，,或希腊字母,，,等表达,第8页,我们将研究两类随机变量：,随机变量,离散型随机变量,持续型随机变量,随机变量分类,例:观测投掷一种骰子出现点数.,随机变量 X 也许值是:,1,2,3,4,5,6.,1,2,3,4,5,6,例,:,随机变量,X,为“灯泡寿命”,.,则,X,取值范围为,0,第9页,其中,(,k,=1,2,),满足：,k,=1,2,（,1,）,（,2,）,定义 2.3 设 xk(k=1,2,)是离散型随机变量 X 所取一切也许值，称,为,离散型随机变量,X,概率分布，或称为分布列,.,定义2.2：某些随机变量X所有也许取值是有限多种或可数多种,这种随机变量称为离散型随机变量.,第10页,离散型随机变量表达措施,（,1,）公式法,（,2,）列表法,X,第11页,P,P P P,我们研究对象是,概率,怎样入手,将概率问题转化为,实变量,函数形式？,(,X,=,x,),(,X,x,),(,X,x,),(,x,1,X,x,2,),我们研究对象是随机事件概率,随机变量取值或取值范围,由此引进了,分布函数,概念：,能否选用一种事件将所有事件都表达出来？,(,X,x,),A,(,X,x,),X,(,),P,(,),P,P,第12页,离散型随机变量分布函数,定义,2.4,第13页,Probability and Statistics,分布函数性质,3)F(x)是一种右持续函数，即,第14页,Probability and Statistics,证明,重要公式,第15页,Probability and Statistics,解,例,（,1,）求,X,分布函数,F(x),，并画出它图形,（,2,）求概率,离散型,（,1,）,第16页,分布函数图,第17页,（,2,）,第18页,设离散型,X,分布律是,P,X=x,k,=,p,k,k=,1,2,3,F,(,x,)=,P,(,X,x,)=,即,F,(,x,),是,X,取 诸值,x,k,概率之和,.,一般地,则其分布函数,第19页,常见一维离散型随机变量概率分布,1,n,重伯努利,(Bernoulli),试验、二项分布,2,泊松分布,第20页,伯努利试验,设试验E只有两个也许成果：A及 ，则称E为伯努利(Bernoulli)试验。,设P(A)p(0p0,是常数。则称,X,服从参数为,泊松分布，记为,X,丌,(,),。,易知，,PX=k)0,，,k=0,，,1,，,2,，,，且有,第26页,有关泊松分布,历史上泊松分布是作为二项分布近似，于1837年由法国数学家普阿松引入，近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要几种分布之一。,在实际应用中许多随机现象服从普阿松分布。这种状况尤其集中在两个领域中。一是社会生活，对服务多种规定：诸如 互换台中来到呼喊数，公共汽车站来到乘客数等等都近似地服从普阿松分布，因此在运筹学及管理科学中泊松分布占有很突出地位；另一领域是物理学，放射性分裂落到某区域质点数，热电子发射，显微镜下落在某区域中血球或微生物数目等等都服从普阿松分布。,第27页,地震,火山爆发,特大洪水,呼唤次数,交通事故次数,商场接待顾客数,第28页,二项分布普阿松,(poisson),迫近,在很多应用问题中，我们经常碰到这么贝努利试验，其中，相对地说，,n,大，,p,小，而乘积,=np,大小适中。在这种情况下，有一个便于使用近似公式。,定理,(,普阿松,),在贝努利试验中，以,p,n,代表事件,A,在试验中出现概率，它与试验总数,n,相关，假如,np,n,，则当,n,时，当,p,相当小（普通当,p0.1),时，我们用下面近似公式,第29页,持续型随机变量X所有也许取值充斥一种区间,对这种类型随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”方式.,下面我们就来简介对持续型随机变量描述措施.,第30页,则称 X为持续型随机变量,称 f(x)为 X 概率密度,函数，简称为概率密度.,持续型随机变量及其概率密度定义,有,使得对任意,实数,定义,2.5,对于随机变量,X,假如存在非负可积函数,f,(,x,),第31页,函数图像,第32页,概率密度函数性质,由分布函数性质可知，概率密度函数具有如下性质：,(1)f(x)0，函数曲线位于x轴上方；,反之，对于定义在（-,)上可积函数f(x),若它满足性质1和性质2，则由它定义F(x)是一种分布函数，即它满足分布函数所必须具有三个性质。,f,(,x,),x,o,第33页,故,X,密度,f,(,x,),在,x,这一点值，恰好是,X,落,在区间,(,x,x,+,x,上概率与区间长度,x,之比极限。,若 x 是 f(x)持续点，则,对 f(x)深入理解:,第34页,(1)持续型随机变量取任一指定实数值a 概率均为0.即,这是由于,注意,:,当 时,得到,第35页,Probability and Statistics,例：设,X,概率密度为,（,1,）求常数,C,；（,2,）求概率,PX2.,解,第36页,常见一维持续型随机变量：,均匀分布、指数分布、正态分布,第37页,对应分布函数为：,均匀分布,设持续型随机变量X具有概率密度,则称X在区间(a,b)上服从均匀分布。记为XU(a,b).,分布函数,第38页,均匀分布密度函数与分布函数,第39页,指数分布,设持续型随机变量X概率密度为,其中0为常数，则称X服从参数为指数分布。,对应分布函数为：,分布函数,第40页,第41页,正态分布,设持续型随机变量X概率密度为,其中,(0)为常数，则称X服从参数为,正态分布分布，记为XN(,2)。,对应分布函数为：,分布函数,第42页,决定了图形中心位置，决定了图形中峰陡峭程度,.,正态分布,密度函数图形特点,第43页,正态分布 分布函数图形,第44页,正态分布是最常见最重要一种分布,例如测量误差;人生理特性尺寸如身高、体重、智商等；,正常状况下生产产品尺寸:直径、长度、重量、高度等都近似服从正态分布.,正态分布应用与背景,第45页,原则正态分布,当=0,=1时称X服从原则正态分布，记为XN(0,1)。其概率密度和分布函数分别用(x),(x)表达，即有,显然,(-x)=1-(x),第46页,第47页,例 将一温度调整器放置在寄存着某种液体容器内，调整器定在d，液体温度X（以计）是一种随机变量，且XN(d,0.52)。(1)若d=90，求X89概率；(2)若规定保持液体温度至少为80概率不低于0.99，问d至少为多少？,第48页,第49页,思索 设XN(,2)，由(x)函数表得到：,P-X+=(1)-(-1)=2(1)-1=68.26,P-2X+2=(2)-(-2)=2(2)-1=95.44,P-3X+3=(3)-(-3)=2(3)-1=99.74,可见，服从正态分布随机变量虽然取值在（-，+），但其值落在（-3，+3）内几乎是可以必然，置信度高达0.997。,第50页,51,在某些实际问题中，随机变量分布函数很难确定，但它数字特性却相对比较轻易计算出来。,所谓随机变量数字特性，就是刻划随机变量某种特性（如平均值、偏差程度）量。它虽然不一定能完整地描述随机变量，但在理论和实践上都具有重要意义。,第51页,随机变量数字特性,数学期望,方差,原点矩和中心矩,协方差、有关系数、有关矩阵,第52页,（,1,）数学期望,定义,设离散型随机变量,X,分布律为,若级数 绝对收敛，则称级数为随机变量,X,数学期望,，简称为,期望,或,均值,第53页,X,P,4,1/4,5,1/2,6,1/4,数学期望计算,已知随机变量,X,分布律：,例,求数学期望,E,（,X,）,解,第54页,定义,设连续型随机变量,X,分布密度为 ，若积分 绝对收敛，则称此积分值为,X,数学期望,，记作 。即,第55页,数学期望意义,试验次数较大时，,X,观察值算术平均值,在,E(X),附近摆动,数学期望又可以称为期望值(Expected Value)，,均值(Mean),E(X)反应了随机变量X取值“概率平均”,是X,也许值以其对应概率加权平均。,第56页,随机变量,函数数学期望,定理,设 是随机变量,X,函数,(1),若,X,为离散型随机变量，其分布律为,（,当级数 绝对收敛时，则有：,第57页,(2),若,X,为连续型随机变量，其分布密度,为，则当,绝对收敛时，有：,第58页,数学期望性质,相互独立时,当随机变量,.,C,为,常数,.,.,第59页,（,2,）方差,均值反应了随机变量取值集中在哪一种值,周围，是随机变量位置特性值。但在许多实际,问题中，单凭随机变量均值来刻画其取值统,计规律性是不够，还必须懂得随机变量取值,在其均值周围分散程度。,为此，我们引入随机变量另一种重要数,字特性-方差。,定义：,设X是一种随机变量，,称 为原则差。,第60页,由方差定义可知，,如,X,是离散型随机变量，其概率分布律为：,如X是持续型随机变量，其密度函数为 f(x)：,第61页,方差是一种常用来体现随机变量X取值分散程度量.假如D(X)值大,表达X 取值分散程度大,E(X)代表性差;而假如D(X)值小,则表达X 取值比较集中,以E(X)作为随机变量代表性好.,方差意义,数学期望反应了,X,取值,中心,.,方差反应了,X,取值,离散程度,.,第62页,(1),设,C,是常数,则有,(2)设 X 是一种随机变量,C 是常数,则有,方差,性质,(3),设,X,为随机变量，,C,为常数，则,第63页,设,X,求,E,(,X,),Var(,X,).,解,:,(1),E,(,X,)=,=1,(2),E,(,X,2,)=,=7/6,因此,Var(,X,)=,E,(,X,2,),E,(,X,),2,=7/6,1=1/6,例,第64页,分布,参数,数学期望,方差,0-1,分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,指数分布,正态分布,几何分布,几种常见分布期望和方差,第65页,定义,设,X,与,Y,是两个随机变量，称,E,(,X,k,),为,X,k,阶,原点矩,；称,E,X,E,(,X,),k,为,X,k,阶,中心矩,；称,E,(,X,k,Y,l,),为,X,与,Y,k,+,l,阶,混合原点矩,；称,E,X,E,(,X,),k,Y,E,(,Y,),l,为,X,与,Y,k,+,l,阶,混合中心矩,（,3,）矩,第66页,（4）协方差及有关系数,两个随机变量除了互相独立之外，还存在不,互相独立状况，即它们之间存在一定有关关,系。但怎样刻划它们之间有关程度呢？,从前面讨论可见，若,X,与,Y,独立，则,这意味着，,如,则X与Y 不互相独立，而存在一定有关关系。,为此，我们有：,第67页,定义：,称为随机变量,X,与,Y,协方差,。,记为,Cov,(,X,Y,),为随机变量X与Y 有关系数。,定理：,第68页,当 较大时，表明,X,Y,(,就线性关系而言,),联络较紧密。,尤其当 时，由定理知,X,Y,间以概率,1,存在着线性关系，于是 是一个可用来表示,X,，,Y,之间线性关系紧密程度量。,当 较大时，我们通常说,X,Y,线性相关程度很好，反之，则较差。,尤其当 时，称,X,和,Y,不相关,(,不存在线性,关系,),。,不有关仅指不存在线性关系，并不意味着独立，它们之间还也许存在非线性关系。,第69页,（5）有关矩阵,把两个变量有关扩大为若干对变量间有关，并把它们有关系数按矩阵方式列出，称之为有关矩阵。,第70页,第71页,