构造函数解方程或方程解汇总.doc

构造函数解方程或方程解
的讨论问题
　　当方程两边对应的函数图象容易作出时，可构造两个函数，由已知条件作出函数的图象，就把求方程解的问题转化为研究两个函数图象交点或位置关系的问题．
　　例3 若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解，则a的值是 [　　 ]
(86年全国初中数学联赛题)
　　　　A．0．　　　 B．1．
　　　　C．2．　　　 D．3．
　　解：方程｜｜x-2｜-1｜=a的解是函数 y=｜｜x-2｜-1｜的图象与y=a的图象交点的横坐标，所以原方程有三个整数解的条件，即转化为函数y=｜x-2｜-1｜的图象与y=a的图象有三个公共点．作 y=｜｜x-2｜-1｜的图象(如图 2)．因为 y=a的图象是平行于x轴的直线，从图象知，当y=a的图象过点(0，1)时，两图象才有三个交点(其横坐标是整数)，此时a=1，故应选B．

　　求b的变化范围．(90年江苏省初中数学竞赛题)
　　图象在x轴下方的部分关于x轴作对称变换到x轴上方，在x轴上方的部分不变而得到的，其图象如图3．

　　此题(2)可用讨论法解，但比较复杂，而利用函数结合图象解，显然直观、简明．

(美国第二届中学生数学竞赛题)

　　则 y=(t-x)2+(t-y)2+(t-z)2．
　　∵△=4(x+y＋z)2-4·3·(x2＋y2＋z2)=4×9-4×3×3=0，
　　∴y=0有两个相等的实数根，
　　即
　　(t-x)2+(t-y)2+(t-z)2=0有实数解．
　　∴t-x=t-y=t-z=0，∴x=y=z．
　　再由①即得x=y=z=1．这是方程①、②的唯一实数解，它也适合③，故为原方程组的唯一实数解：
　　此题似乎很难构造函数解题，但若观察到方程①、②左边的特征及联系，以x2＋y2+z2为常数项，2(x+y＋z)为一次项系数，再联想到完全平方式，就可构造上述的二次函数求解．