江苏省高考数学试题.doc

2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
（1）函数的最小正周期是（ ）。
A. B. C. D.
（2）圆的圆心到直线的距离是（ ）。
A. B. C. 1 D.
（3）不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
（4）在内，使成立的x取值范围为（ ）
A. B. C. D.
（5）设集合，则（ ）
A. B. C. D.
（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）。
A. B. C. D.
（7）函数是奇函数的充要条件是（ ）
A.ab=0 B. a+b=0 C. a=b D.
（8）已知，则有（ ）。
A. B. C. D.
（9）函数
A. 在（）内单调递增 B. 在（）内单调递减
C. 在（）内单调递增 D. 在（）内单调递减
（10） 极坐标方程与的图形是（ ）。

（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）。
A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“”末，我国国内生产总值约为（ ）。
A. 115 000 亿元 B. 120 000亿元 C. 127 000亿元 D. 135 000亿元
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
（13）椭圆的一个焦点是（0，2），那么k= 。
（14）的展开式中项的系数是 。
（15）已知，则 。
（16）已知函数那= 。
三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）已知复数，求实数a,b使

（18）（本小题满分12分）设为等差数列，为等比数列，
，分别求出及的前10项的和及。

（19）（本小题满分 12分）四棱锥的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD
（I）若面PAD与面ABCD所成的二面角为，求这个四棱锥的体积；
（II）证明无论四棱锥的高怎样变化，面与面所成的二面角恒大于。

（20）（本题满分12分）
设A、B是双曲线上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点。
（I） 求直线AB的方程。
（II）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、 D四点是否共圆？为什么？

（21）（本小题满分12分，附加题满分4分）
（I）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2）,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明。
（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。
（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分。）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。

（22）（本小题满分14分）已知，函数；
（I）当b>0时，若对任意都有，证明；
（II）当b>1时，证明：对任意，的充要条件是；
（III）当时，讨论：对任意，的充要条件。

2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案
说明：
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一. 选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分。
（1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）C （7）D （8）D （9）C （10）B （11）B （12）C
二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16 分。
（13）1 （14）1 008 （15） （16）
三. 解答题
（17）本小题主要考查复数的基础知识和基本运算技能。满分12分。
解：因为
因为都是实数，所以由得两式相加，整理得解得： 对应得
所以，所求实数为，或
（18）本小题主要考查等差数列，等比数列基础知识，以及运算能力和推理能力满分12分。
解：因为为等差数列，为等比数列。
已知 得：
因为
由知的公差为
由知的公比为
当时，
当时，
（19）本小题考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力满分12分。
（I）解：因为面ABCD。 所以BA是PA在面ABCD上的射影
又， 所以
PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角
而PB是四棱锥的高，PB=AB

（II）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面与恒为全等三角形。
作，垂足为E，连结EC，则

故是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角
设AC与DB相交于点O，连结EO，则

在三角形AEC中，

所以，面与面PCD所成的二面角恒大于90度。
（20）本小题主要考查直线、圆、双曲线和坐标法等基本知识，以及逻辑推理能力、运算能力和分析解决问题的能力。满分12分。
解：（I）依题意，可设直线AB的方程为
代入，整理得 （1）
记，，则是方程(1)的两个不同的根
所以，且
由N（1，2）是AB的中点得：
解得k=1，所以直线AB的方程为
（II）将k=1代入方程(1)得解出
由得 即A、B的坐标分别为（-1，0）和（3，4）
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为即
代入双曲线方程，整理得： （2）
记，D ，以及CD的中点为M（）
则是方程（2）的两个根，所以
从而，

又
即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆。
（21）本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力，满分12分，附加题4分。
解：（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥。
如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。
（II）依上面剪拼的方法，有
推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为，现在计算它们的高：

所以
（III）（附加题，满分4分）
如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底、余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型。
注：考生如有其他的剪拼方法，可比照本标准评分。

（22）本小题主要考查二次函数、不等式等基础知识，以及逻辑推理能力、运算能力和灵活、综合应用数学知识解决问题的能力。满分14分。
（I）证：依设，对任意，都有
因为 因为
（II）证： 必要性：
对任意，据此可以推出 即
对任意
因为b>1，可以推出 即
充分性：因为，对任意，可以推出：

即
因为，对任意，可以推出
即
综上，当b>1时，对任意，的充要条件是
（III）解：因为时，对任意：，即；
即
，即
所以，当时，对任意，的充要条件是