二项分布及泊松分布.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二项分布,例,1,设生男孩的概率为,p,生女孩的概率为,q=1-p,，,令,X,表示随机抽查出生的,4,个婴儿中,“,男孩,”,的个数,.,贝努利概型,和,二项分布,一、,我们来求,X,的概率分布,.,X,的概率函数是：,男,女,X,表示随机抽查的,4,个婴儿中男孩的个数，,生男孩的概率为,p,.,X,=0,X,=1,X,=2,X,=3,X,=4,X,可取值,0,1,2,3,4.,例,2,将,一枚均匀骰子抛掷,10,次，,令,X,表示,3,次中出现,“,4,”,点的次数,X,的概率函数是：,不难求得，,掷骰子：,“,掷出,4,点,”,，,“,未掷出,4,点,”,一般地，,设在一次试验中我们只考虑两个,互逆的结果：,A,或 ，,或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“,失败,”,.,新生儿：,“,是男孩,”,，,“,是女孩,”,抽验产品：,“,是正品,”,，,“,是次品,”,这样的,n,次独立重复试验称作,n,重贝努利试验，简称贝努利试验或,贝努利概型,.,再设我们重复地进行,n,次独立试验,(“,重复”是指这次试验中各次试验条件相同,),，,每次试验成功的概率都是,p,，,失败的概率,都是,q,=1-,p,.,用,X,表示,n,重贝努利试验中事件,A,（,成功,）出现的次数，则,（,2,）,不难验证：,（,1,）,称,r.v,X,服从参数为,n,和,p,的二项分布，记作,X,B,(,n,p,),当,n,=1,时，,P,(,X,=,k,)=,p,k,(1-p),1-k,k,=0,1,称,X,服从,0-1,分布,例,3,已知,100,个产品中有,5,个次品，现从中,有放回,地取,3,次，每次任取,1,个，求在所取的,3,个中恰有,2,个次品的概率,.,解,:,因为这是有放回地取,3,次，因此这,3,次试验,的条件完全相同且独立，它是贝努利试验,.,依题意，每次试验取到次品的概率为,0.05.,设,X,为所取的,3,个中的次品数，,于是，所求概率为,：,则,X,B,(3,0.05)，,注：若,将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解,.,二项分布描述的是,n,重贝努里试验中出现,“,成功,”,次数,X,的概率分布,.,可以简单地说，,例,4,某类灯泡使用时数在,1000,小时以上,的概率是,0.2,，求三个灯泡在使用,1000,小时以后最多只有一个坏了的概率,.,解,:,设,X,为三个灯泡在使用,1000,小时已,坏的灯泡数,.,X,B,(3,0.8)，,把观察一个灯泡的使用,时数看作一次试验,“,使用到,1000,小时已坏”,视为“成功”,.,每次试验,“,成功”的概率为,0.8,P,(,X,1)=,P,(,X,=0)+,P,(,X,=1),=(0.2,)3,+3(0.8)(0.2),2,=0.104,对于固定,n,及,p,，当,k,增加时,概率,P,(,X=k,),先是随之增加直至 达到最大值,随后单调减少,.,二项分布的图形特点：,X,B,(,n,p,),当,(,n,+1),p,不为整数时，二项概率,P,(,X,=,k,),在,k,=,(,n,+1),p,达到最大值；,(,x,表示不超过,x,的最大整数,),n,=10,p,=0.7,n,P,k,对于固定,n,及,p,，当,k,增加时,概率,P,(,X=k,),先是随之增加直至 达到最大值,随后单调减少,.,二项分布的图形特点：,X,B,(,n,p,),当,(n,+1),p,为整数时，二项概率,P,(,X,=,k,),在,k,=(,n,+1),p,和,k,=,(,n,+1),p,-1,处,达到最大值,.,n,=13,p,=0.5,P,k,n,0,想观看二项分布的图形随参数,n,p,的具体变化，请看演示,二项分布,例,5,为保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人,.,设共有,300,台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是,0.01.,若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理,.,问,:,(1),若只配备一名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？,(2),若配备两名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？,(3),若使设备发生故障时不能及时维修的概,率小于,0.01,，至少应配备多少工人,?,我们先对题目进行分析：,300,台设备，独立工作，出故障概率都是,0.01.,一台设备故障一人来处理,.,设,X,为,300,台设备同时发生故障的台数，,300,台设备，独立工作，每台出故障概率,p,=0.01.,可看作,n,=300,的贝努利概型,.,X,B,(,n,p,)，,n,=300,p,=0.01,可见，,“若只配备一名工人”那么只要同时发生故,障的设备的台数,X,大于,1,，其中的,X-,1,台设备就,会得不到及时维修。即所求为,问,(1),若只配备一名工人，则设备发生故障,而不能及时维修的概率是多少？,同理，“若只配备两名工人”那么只要同时,发生故障的设备的台数,X,大于,2,即可。所求为,300,台设备，独立工作，出故障概率都是,0.01.,一台设备故障一人来处理,.,问,(3),需配备多少工人，若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于,0.01?,设,X,为,300,台设备同时发生故障的台数，,X,B,(,n,p,)，,n,=300,p,=0.01,设需配备,N,个工人，,所求的是满足,的最小的,N,.,P,(,X,N,),N,),通过计算可知，,则要使设备发生故障而不能及时维修的概,率小于,0.01,，只需配备,8,名工人，平均每人负责,38,台。,若将该例改为：,(1),若由一人负责,20,台设备，求这,20,台设备,发生故障而不能及时维修的概率；,解：,(1),设随机变量,X,表示,20,台设备在同一,时刻发生故障的台数，则,(2),若由,3,人共同负责维修,80,台设备，求这,80,台设备发生故障而不能及时维修的概率。,解：设随机变量,X,表示,80,台设备在同一时刻,发生故障的台数，则,由,(1)(2),结果，可看出后者的管理经济效益要,好得多。,例,6,某人去一服务单位办事，排队等候的时,间,(,分钟,),为一随机变量，设其概率密度为：,若此人,等候时间超过,15,分钟则愤然离去。假,设此人一个月要到该服务单位办事,10,次，则,(1),此人恰好 有,2,次愤然离去的概率；,(2),此人至少有,2,次愤然离去的概率；,(3),此人多数会愤然离去的概率。,解：,设随机变量,Y,表示“此人来服务单位办事,10,次中愤然离去的次数”，则,(1),此人恰好 有,2,次愤然离去的概率；,(2),此人至少有,2,次愤然离去的概率；,(3),此人多数会愤然离去的概率。,二、二项分布的泊松近似,我们先来介绍,二项分布的泊松近似，,下一讲中，我们将介绍二项分布的正态近似,.,或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法,.,当试验次数,n,很大时，计算二项概率变得很麻烦，若 要计算,定理的条件意味着当,n,很大时，,p,必定很小,.,因此，泊松定理表明，当,n,很大，,p,很小时有以下近似式：,泊松定理,设 是一个正整数，则有,其中,(,证明见下一页,).,证明：,n,100,np,10,时近似效果就很好,请看演示,二项分布的泊松近似,实际计算中，,其中,例,5,为保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人,.,设共有,300,台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是,0.01.,若在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理,.,问,:,(1),若只配备一名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？,(2),若配备两名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？,解：设,X,为,300,台设备同时发生故障的台数，,X,B,(,n,p,),，,n,=30010,p,=0.010.1,(3),若使设备发生故障时不能及时维修的概,率小于,0.01,，至少应配备多少工人,?,查表可得：,要使,P,(,X,N,),即求使表中 的那一列中前,N,项之和,大于,0.99,的那个,N,。,经查表得,N,=8。,这样就大大简化了计算过程。,当,p,不是很小，而是很大,(,接近于,1),，可将问题略为转换一下，仍然可以应用泊松近似,.,当,n,很大时，,p,不是很小，而是很大,(,接近于,1),时，能否应用二项分布的泊松近似？,