几种常见的曲面及其方程PPT参考课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,几种常见的曲面及其方程,二次曲面,曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四节,曲面及其方程,1,即,动点为 定点为 ，,由两点间距离公式得,特别,当,M,在原点时,球面方程为,定值为,R,表示上,(,下,),球面,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、几种常见的曲面及其方程,1.,球面,2,例,1,方程,表示怎样的曲面,.,解 通过配方，把原方程写成,对比（,1,）式知，它表示球心在点（,2,0,-1,）,半径为,的球面,.,3,三、柱面,引例,.,分析方程,表示怎样的曲面,.,的坐标也满足方程,解,:,在,xoy,面上,，,表示圆,C,沿曲线,C,平行于,z,轴的一切直线所形成的曲面,称为,圆,故在空间,过此点作,柱面,.,对任意,z,平行,z,轴的直线,l,表示,圆柱面,在圆,C,上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,定义,3.,平行定直线并沿定曲线,C,移动的直线,l,形成,的轨迹叫做,柱面,.,表示,抛物柱面,母线平行于,z,轴,;,准线为,xoy,面上的抛物线,.,z,轴的,椭圆柱面,.,z,轴的,平面,.,表示母线平行于,(,且,z,轴在平面上,),表示母线平行于,C,叫做,准线,l,叫做,母线,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于,x,轴,;,平行于,y,轴,;,平行于,z,轴,;,准线,xoz,面上的曲线,l3.,母线,柱面,准线,xoy,面上的曲线,l1.,母线,准线,yoz,面上的曲线,l2,.,母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,定义,2.,一条平面曲线,3.,旋转曲面,绕其平面上一条,定直线,旋转,一周,所形成的曲面叫做,旋转曲面,.,该定直线称为,旋转,轴,.,例如,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,建立,yoz,面上曲线,C,绕,z,轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕,z,轴旋转时,若点,给定,yoz,面上曲线,C:,则有,则有,该点转到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,思考：,当曲线,C,绕,y,轴旋转时，方程如何？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,例,2,将,面上的椭圆,分别绕,轴和,轴旋转，求所形成的旋转曲面方程。,解 绕 轴旋转而成的旋转曲面方程为,即,即,绕 轴旋转而成的旋转曲面方程为,10,例,3,求,面上的抛物线,绕,x,轴,旋转所形成的旋转抛物面（图,7-28,）的方程。,解 方程,中的,x,不变，,换成,便得到旋转抛物线的方程为,例,4,求,面上的直线,绕,z,轴,旋转一周而成的圆锥面的方程。,解 所求圆锥面的方程为,即,11,二、二次曲面,三元二次方程,适当,选取,直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍,.,研究二次曲面特性的基本方法,:,截痕法,其基本类型有,:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面,.,(,二次项系数不全为,0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,1.,椭球面,(1),范围,：,(2),与坐标面的交线：椭圆,机动 目录 上页 下页 返回 结束,黄,绿,红,13,与,的交线为椭圆,：,(4),当,a,b,时为旋转椭球面,;,同样,的截痕,及,也为椭圆,.,当,a,b,c,时为球面,.,(3),截痕,:,为正数,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,2.,椭圆抛物面,(,p,q,同号,),特别,当,p=q,时为绕,z,轴的旋转抛物面,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,三、曲线,1.,曲线方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线,C.,C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,又如,方程组,表示上半球面与圆柱面的交线,C.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,空间曲线的参数方程,将曲线,C,上的动点坐标,x,y,z,表示成参数,t,的函数,:,称它为空间曲线的 参数方程,.,例如,圆柱螺旋线,的参数方程为,上升高度,称为,螺距,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,例,5,设一动点,M,在圆柱面,上以角速度,绕,z,轴旋转，同时又以线速度,沿平行于,z,轴的正方,向上升,(,都是常数,),则点,M,的几何轨迹叫做螺旋线,（图,7-34,），试图建立其参数方程。,解 取时间,t,为参数，设,t=0,时动点在,处，,动点在点,处，过点,M,作,xoy,面的垂线，则,垂足的坐标为,由于,是动点在时间,t,内转过的角度，而线段,的长,是时间,t,内动,点上升的高度，所以经过时间,t,，得,19,从而,因此螺旋线的参数方程为,20,2.,空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线,C,的一般方程为,消去,z,得投影柱面,则,C,在,xoy,面上的投影曲线,C,为,消去,x,得,C,在,yoz,面上的投影曲线方程,消去,y,得,C,在,zox,面上的投影曲线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,例如,在,xoy,面上的投影曲线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,例,6,求曲线,关于,面的投影柱面及投影的方程。,解 将方程组中的第二个方程代入第一个方程，得,曲线 关于 面的投影柱面的方程为,（是圆柱面），在 面的投影方程为,（是 面上的圆）,23,