高考数学一轮复习函数模型及其应用课时跟踪检测理湘教版.doc

课时跟踪检测(十二)　函数模型及其应用

第Ⅰ组：全员必做题
1．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为(　　)

2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)
A．y＝100x　　　　　　　　 B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是(　　)
A．①　　　B．①②　　　C．①③　　　D．①②③
4.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　)
A．上午10：00 B．中午12：00
C．下午4：00 D．下午6：00
5．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是(　　)
A．7层 B．8层 C．9层 D．10层
6.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的________．

7.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
9．(2013·昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．
(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；
(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：
月用水量x(吨)
3
4
5
6
7
频数
1
3
3
3
2

请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；
(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：
月用水量x(吨)
1
2
3
4
5
6
7
频数
10
20
16
16
15
13
10

据此估计该地“节约用水家庭”的比例．

第Ⅱ组：重点选做题
1．(2014·威海高三期末)对于函数f(x)，如果存在锐角θ，使得f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f(x)具备角θ的旋转性，下列函数具备角的旋转性的是(　　)
A．y＝ B．y＝ln x C．y＝x D．y＝x2
2．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)．

答 案

第Ⅰ组：全员必做题
1．选D　注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.
2．选C　根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．
3．选A　由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.
4．选C　当x∈[0,4]时，设y＝k1x，
把(4,320)代入，得k1＝80，
∴y＝80x.当x∈[4,20]时，设y＝k2x＋b.
把(4,320)，(20,0)代入得
解得∴y＝400－20x.
∴y＝f(x)＝
由y≥240，
得或
解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.
故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.
5．选C　设所停的楼层为n层，则2≤n≤12，由题意得：S＝2＋4＋…＋2(12－n)＋1＋2＋3＋…＋(n－2)＝＋＝n2－n＋157，其对称轴为n＝∈(8,9)，又n∈N*且n离9的距离较近，故选C.
6．解析：当h＝0时，v＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在附近时，体积变化较快；h小于时，增加越来越快；h大于时，增加越来越慢．
答案：②
7．解析：设长为a cm，宽为b cm，则ab＝600 cm，则中间文字部分的面积S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2＝486，当且仅当2a＝3b，即a＝30，b＝20时，S最大＝486 cm2.
答案：30 cm,20 cm
8．解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有
3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，
令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，
解得t≥或者t≤－(舍去)，故1＋x%≥，解得x≥20.
答案：20
9．解：(1)y关于x的函数关系式为
y＝
(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；
当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12；
当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.
所以该家庭去年支付水费的月平均费用为
(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．
(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，
所以“节约用水家庭”的频率为＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.
第Ⅱ组：重点选做题
1．选C　函数f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角，相当于x轴、y轴绕坐标原点顺时针旋转角，问题转化为直线y＝x＋k与函数f(x)的图像不能有两个交点，结合图像可知y＝x与直线y＝x＋k没有两个交点，故选C.
2．解析：当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝(x∈N*)．
当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润．
答案：y＝(x∈N*)　16