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LUOYANG NORMAL UNIVERSITY

2012届 本科毕业论文

正定矩阵的性质及推广

院（系）名称
数学科学学院
专 业 名 称
数学与应用数学
学生姓名

学号
080414076
指导教师

完 成 时 间
2012.5

正定矩阵的性质及推广

数学科学学院 数学与应用数学专业 学号： 080414076
指导教师：

摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质. 其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用. 最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明.

关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵

关于正定矩阵的定义
　　本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为
　　定义 阶实对称矩阵称为正定的，如果对 ,都有.这种正定矩阵的全体记作.
　　年，首先提出了较广义的正定矩阵的定义，即
　　定义 设，如果对 ，都有,则称为正定矩阵,这种正定矩阵的全体记作.
　　年，佟文廷把这种矩阵推广为
　　定义 设，如果对,都有正对角矩阵
=，使得，则称为广义的正定矩阵，记为，若与无关，则记为.
　　年，夏长富对这种正定矩阵作进一步推广如下
　　定义 设，如果对,都存在,使得,称为广义正定矩阵，这种广义正定矩阵的集合记为，若与无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作.
正定矩阵的判定定理
　　定理 设是阶实对称矩阵，则下列命题等价
　　 ；
　　 对，都有；
　　 的正惯性指数为，负惯性指数为0；
　　 的各阶顺序主子式都大于0；
　　 存在阶可逆矩阵，使；
　　 存在阶可逆矩阵，使=；
　　 的各阶主子式都大于0；
　　 存在正定矩阵，使；
　　 所有与合同的矩阵是正定矩阵；
　　 的特征值都大于0；
　　 半正定且；
　　 设，则和是正定矩阵.
　　 存在对角元素全大于零的上三角矩阵，使.
　　证明 等价于
　　因为是实对称矩阵，所以可对角化，即存在正交矩阵，使
，
其中是的特征值，，所以

令=,则是正定矩阵且=.
　　反之，因为是正定矩阵，所以是正定矩阵，即是正定矩阵.
　　等价于
　　设是与合同的矩阵，正定，下证正定，对
，
作非退化线性替换，则
，
因为是正定矩阵，所以
，
即
，
所以是正定矩阵.
　　反之，令是正定矩阵，则
　　，
因为是正定矩阵，与合同，由上面的证明可知，是正定矩阵.
　　等价于
　　是正定矩阵等价于是正定矩阵，
　　,
　　，
等价于和是正定矩阵.
　　要证等价于，需先证明一个引理.
　　引理 设为一个级实矩阵，且，则可以分解成，其中是正交矩阵，是一上三角矩阵.
　　证明 设，其中是的列向量，因为，所以线性无关，可作为维线性空间的一组基，将其化为标准正交基，令
　　，
　　，
　　，
则
=，
将，，,标准化，令
，
，

，
则

，
是一组标准正交基，令
，
，
则是正交矩阵，是一上三角矩阵，且对角元素大于零.
　　下面证明等价于
　　是正定矩阵等价于存在可逆矩阵，使
，是上三角矩阵且对角元素大于0，同样的方法可证明下三角矩阵的情况. 其余等价命题参考文献.
正定矩阵的性质
　　性质 若是正定矩阵，则、、、也是正定矩阵.
　　证明 因为是正定矩阵，所以存在阶可逆矩阵，使，则

所以是正定矩阵.
　　另外，的特征值都大于，所以都大于，即的特征值都大于，所以也是正定矩阵.
　　对于任意的，，所以是正定矩阵.
　　因为=，所以是正定矩阵.
　　性质 设，是阶正定实对称矩阵，且满足,则也是正定实对称矩阵.
　　证明 因为，所以是实对称矩阵，设是的一个特征值，是对应于的特征向量，则
,
，
，
因为,是正定矩阵，所以，，所以，即的特征值都大于，所以也是正定实对称矩阵.
　　由性质的证明过程可知，正定矩阵乘积的特征值大于.
　　性质 若、都是正定矩阵，则是正定矩阵.
　　证明 显然是实对称矩阵，对于任意的
　　，
有
　　，
所以是正定矩阵.
　　推论 若、都是正定矩阵，则是正定矩阵.
　　性质 若、都是正定矩阵，则.
　　证明 因为是正定矩阵，所以存在可逆矩阵,使得 ，显然是对称矩阵，则可对角化，所以存在正交矩阵,使
　　=
因为是正定矩阵，所以，令，则

==
分别对上式两边求行列式得，
，
，
，
所以
，
因为
，
所以
.
　　此性质说明了对任意一个正定矩阵和一个实对称矩阵(不一定是正定的),存在可逆矩阵，使和都为对角矩阵.
　　性质 为阶正定矩阵，则的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上.
　　证明 因为正定，从而的一切二阶主子式都大于，当时
　　.
移项后，开方即得，
，
设的主对角元上最大元素为，再由上式，得，
=，
此即证
.
即的元素的绝对值最大者，一定在主对角元上.
　　性质 为阶正定矩阵，则，其中为的主对角元素.
　　证明 设，其中为的-1阶顺序主子式，

因为正定，所以正定，存在，于是
　　=，
两边取行列式得，
=，
因为正定，所以正定，所以
，.
所以，同理，这样继续下去，可得
.
　　性质 若是正定矩阵，则也是正定矩阵.
　　证明 因为是正定矩阵，所以的特征值，那么
　　，
即的特征值都大于0，所以是正定矩阵.
正定矩阵的应用
证明不等式
　　实对称矩阵称为正定矩阵，是指如果实二次型正定，，
而二次型正定是指对任意 ，恒有，所以可用实对称矩阵中的正定矩阵来证明不等式.
　　例 求证.
　　证明 设二次型=+，则的矩阵
　　=，
的各阶顺序主子式=-5，=26，=-80
所以是负定矩阵，则，即.
求函数的极值
　　定义 假定具有二阶连续偏导数，并记
　　,
它称为在的黑赛矩阵.
　　定理 设二元函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，且是的稳定点.则当是正定矩阵时，在取得极小值；当是负定矩阵时，在取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值.
　　例 求函数的极值点.
　　解 由方程组

得的稳定点为，=2，，，，那么
，
是正定矩阵，所以是的极小值点，.
　　多元函数的情形：
　　定义 假设具有二阶连续偏导数，并记
　　，
它称为在的黑赛矩阵.
定理 设多元函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，且是的稳定点. 则当是正定矩阵时，在取得极小值；当是负定矩阵时，在取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值.
例 求函数的极值.
解 由方程组

得的稳定点为，，又的二阶偏导数为，，，，，. 所以
，
其顺序主子式分别为0，，，所以是不定矩阵，在点处不取极值.
，
其顺序主子式分别为，，，所以是正定矩阵，由定理可知，在点处取极小值，极小值为.
多项式因式分解
　　定理 一个实二次型可以分解为两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2且符号差为，或秩等于1.
　　该定理为利用二次型进行二次多项式因式分解提供了理论依据，同时给出了判断能否分解的方法，并且可以很快得到分解式.
　　例 试判断下列多项式在R上能否进行因式分解，若能，分解之.

　　解 令，则=，只需考虑的秩和符号差，所对应的矩阵为，所以的秩为3，故不能分解,所以不能分解.
　　 令，则=，只需考虑的秩和符号差，作非退化线性替换

即

得，
=,
其秩为2，符号差为，所以能因式分解，
====.
最小二乘法问题
　　最小二乘法问题：线性方程组

可能无解. 即任何一组数都可能使

不等于零. 我们设法找使其最小，这样的称为方程组的最小二乘解. 这种问题就叫做最小二乘法问题.
定理 令，，，则方程组的最小二乘解满足，或.
判断二次曲线的形状
可通过非退化线性替换将二次型化为标准型，从而判断二次曲线的形状.
例 判断二次曲线的形状.
解 设，令，则，对作非退化线性替换，令

即

则
，
从而
，
即
，
所以曲线表示椭圆.
在的条件下求二次型的最值.
定理 设元二次型，则在条件下的最大值恰为矩阵的最大特征值，其中.
证明 令,则,作非退化线性替,其中是由的特征向量正交化得到的矩阵，故有
，
其中是的特征值. 所以

记是中的最大值，是中的最小值，又
,
所以
，
即在条件下的最大值恰为矩阵的最大特征值.
例 已知实数满足，求的最大值和最小值.
解 的矩阵
，
，
解得的特征值为，，由定理得，的最大值为，最小值为.
5 正定矩阵的推广
　　定义 设，如果对, 都存在,
使得,则称为更广义正定矩阵，这种更广义正定矩阵的集合记为，若与无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作.
　　定义 设，如果对，都存在,
使得，则称为更广义正定矩阵，这种更广义正定矩阵的集合记为，若与无关，则把这样的广义正定矩阵的集合记作.
　　各种定义有如下关系：

　　证明 显然；
　　 对，有，即，为阶单位矩阵，当然是正对角矩阵，所以，所以；
　　 对，存在正对角矩阵，使，显然，所以，所以；
　　 对，存在,使得，当然，所以，所以
；
　　 对，存在,使得，因为，所以，所以
，所以.
广义正定矩阵的一些性质
定理 若，则.
证明 因为，则存在正对角矩阵，使，所以，所以，因为，所以.
定理6.2 、、都有.
其证明方法都类似于定理，在这里就不再一一写出.
　　定理 ，，.
　　证明 必要性
　　因为,所以,使

则
，,
令
=,=,
所以
==
，，
　　或者，将改写为
,
令
=,=,
所以
==.
　　充分性
　　不妨设,，使，则=，因为,所以对，
有,即,因为,所以.
　　定理说明，对称正定矩阵和实正定矩阵之积为广义实正定矩阵，这也可作为广义正定矩阵的定义和判定定理.
　　定理 设,则存在正交矩阵，使得.
　　证明 因为，所以存在, 使得，因为，所以存在正交矩阵，使为正对角矩阵，又
　　=，
因为，所以对，有,即
,
因为为正对角矩阵，所以.

结束语
　　通过本文的写作，使我对正定矩阵有了更加深入的认识，并且利用正定矩阵解决了代数中的一些问题. 在此基础上，将正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵.

致谢
　　本论文在选题及写作过程中得到黄盛老师的悉心指导，黄老师多次询问写作进程，并为我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励. 黄老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，深深地感染和激励着我. 正是由于他在百忙之中多次审阅全文，对细节进行修改，并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见，本文才得以成型. 在此对黄老师表示由衷的感谢！
　　同时，也感谢大学里各位老师的教导以及班级同学的帮助和支持！

参考文献
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The Properties of Positive Definite Matrix and Promotion
LI Jun-xia
College of Mathematics Science No：080414076
Tutor: HUANG Sheng
Abstract: Positive definite matrices is a kind of more important and widespread matrix, as a kind of special matrix, of course, there are many different properties with other matrix, this paper gives some properties of positive definite matrix. Secondly, given the positive definite matrix inequalities in proof, let the function extreme value, polynomial of factoring decomposition specific application on the positive definite matrix was further promotion, get some properties of the generalized positive definite matrix, and the correspondi- ng proof.

Key words: positive definite matrix; generalized positive definite matrix; positive diagonal matrix; real symmetric matrices
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