2022年高中竞赛之重要不等式.doc

高中竞赛之重要不等式
1．柯西不等式（给了两列数，或一列数，有平方和和平方）
定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不不不不小于方和积”，即

等式当且仅当 时成立。本不等式称为柯西不等式。

证不等式最基本措施是作差比较法，柯西不等式证明也可首选此法。
　　证明1

　　 左=　∴右-左=

当且仅当 时，等式成立。

柯西不等式两个推论：
　　ⅰ．设 同号（ ），则

　　当且仅当 时取等号。
　　ⅱ．若 ，且 ，则

（分母作和）

由柯西不等式可以证下面不等式。3次可以推广为4、5等n次。

证明:对和
分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证明原不等式.
柯西不等式推广：闵可夫斯基不等式
设 ， ，…， ； ， ，…， 是两组正数，且 ，则
　　 （ ）
　　 （ ）
　　当且仅当 时等号成立。
　　闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下三角形不等式，当 时得平面上三角形不等式：

　　 右图给出了对上式一种直观理解。
　　若记 ， ，则上式为

特例：

多种根式可转化为一种根式。
赫尔德不等式
　　已知 （ ）是 个正实数， ，则

上式中若令 ， ， ，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。
2〔排序不等式，排序原理〕（给是两列数且为对称）
设，，则有
．
即“反序和”“乱序和”“同序和”．其中．当且仅当或时等号成立．
〔切比雪夫不等式〕
实数，满足，（，，…，）．则
．
当且仅当或时等号成立．
下面给出一种 时契比雪夫不等式直观理解。
　　 如图，矩形OPAQ中， ， ，显然阴影某些矩形面积之和不不不小于空白某些矩形面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有
　　 ，也即

3 琴生不等式
〔凸函数定义〕
1．设是定义在闭区间上函数，若对任意，和任意，有
成立，则称是上凸函数（也称下凸函数或凹函数）．
2．设是定义在上函数，若对任意，且和任意，有
成立，则称是上严格凸函数．
3．设是定义在上函数，若对任意，和任意，有
成立，则称是上上凸函数．
凸函数定义表白了，上(下)凸函数两个自变量算术平均值处函数值不小(大)于其函数值算术平均值．从图象上看，表白联结上(下)凸函数图形上任何两点弦中点恒位于图形相应点之下(上)．见图1．
　　 图1
注意到在定义中，凸函数条件是对区间内任意两点x1和x2都成立，不难看出，这事实上就保证了函数在整个区间凸性．即上凸函数图象上任一段弧都在所相应弦上方；下凸函数图象上任一段弧都在所相应弦下方．并且由此形成弓形是凸区域．正由于这种函数图象具有这种特点，因此我们才把它形象地名之曰：凸函数．
　　在初等数学里，有关函数凸性，可根据图象来判断．例如，读者不难根据图象可以得出：
　　幂函数y=xa．当a＞1或a＜0时，是(0，∞)上下凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上上凸函数．
　　指数函数y=ax(a＞0，a≠1)．是(-∞，∞)上下凸函数．
　　对数函数y=logcx(a≠1)．当a ＞1时，是(0，∞) 上上凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上下凸函数．
　　三角函数y=sinx是[0，π]上上凸函数，是[π，2π]上下凸函

　　上述函数凸性；也可以根据定义用初等措施来证明．学过微分学读者还可以根据函数二阶导数符号来判断函数凸性．即，若函数f(x)对在定义域(a，b)内所有x恒有＜0，则f(x)是(a，b)上上凸函数；如果恒有＞0， 则f(x)是(a， b)上下凸函数．

〔琴生〔Jensen）不等式〕（变量做和）
若是区间上凸函数，则对任意，，…，有
．
当且仅当时等号成立．当为上凸函数时，不等式反向．
〔琴生〔Jensen）不等式推论，即加权琴生不等式〕
若是区间上凸函数，则对任意，，…，和对任意满足正数，，…，，有
．当且仅当时等号成立．
　若令qi=pi／(p1＋…＋pn)，其中p1，…，pn是任意正数．则琴生不等式(2)变成：

　　在(2)或(3)式中，f(x)取不同凸函数，便得不同不等式．
　　例1 令f(x)=xk，x≥0，k＞1，则f(x)是R+上凸函数，因而有

　　例2 令f(x)=lgx，x＞0，则f(x)是R+上凹函数，故有

　　取反对数，得

　　此即加权平均不等式．

1．设全是正数，且（，，…，），且，．求证：
（1）；
（2）．
证明：不妨设，于是
，．由切比雪夫不等式得
．（*）
又由均值不等式知．又，因此
，而，代入（*）后整顿可得（1）成立．
另一方面
，．由切比雪夫不等式得
．（**）
由均值不等式：
，故．
又，代入（**）整顿后可得（2）成立．
2．有十人各拿一只水桶去打水，如果水龙头灌满第个人水桶需要分钟，且这些（，，…，）各不相等，试问：
（1）只有一只水龙头供水时，应如何安排这十个人打水顺序，使她们耗费总时间至少？这个至少总时间是多少？
（2）若有两个相似水龙头供水时，应如何安排这十个人顺序，使她们耗费总时间至少？这个至少总时间是多少？
解：（1）设安某顺序打水时水龙头灌满第个人水桶需要分钟，则第一人耗费时间为分钟，第二人耗费时间为分钟，……，第十人耗费时间为分钟．总耗费时间为
．
其中，序列，，…，是，，…，一种排列．由题设各各不相似，不妨设，则由排序原理知
．
即安任意一种顺序打水耗费总时间不不不小于安如下顺序打水时间：先安打水所需时间从小到大依次排队，然后逐个打水．即此时耗费时间最省，总耗费时间为（）分钟．
（2）如果有两个水龙头，设总时间至少时有个人在第一种水龙头打水，设依次所需时间为，，…，；有个人在第二个水龙头打水，依次所需时间设为，，…，．显然必有一种水龙头打水人数不少于人，不妨设为第一种水龙头，也不也许有一种水龙头没人去打水，则．由（1）知：
，．
总耗费时间为：
．
其中，．
一方面我们来证明．若否则，我们让在第一种水龙头打水第一人到第二个水龙头第一位去，则总耗费时间变为：
．
．
即当时，我们让第一水龙头第一人到第二水龙头去后，总时间减少．故在时，总时间也许获得最小值．
由于，故两个水龙头人同样多．总用时为：
．
由于
，．
不妨设．下证．否则我们互换用时为，两人位置后，总用时变为
，
．
即经互换后总时间变少．故．也即．
类似地我们可以证明：（，，，），．从而最省时打水顺序为：
水龙头一：，，，，；水龙头二：，，，，．
其中：．
3．在中，求证下列各不等式：
（1）；
（2），其中且．
证明：（1）考察正弦函数，在为上凸函数，故
．
即．
（2）考察函数，在上是凸函数．
6．设，，证明：．
证明：考察函数（），其二阶导数，故其为凸函数．因此
，
即
．
7．对正数，，…，，
若或，则
；
若，则
．
证明：考察函数（）．其二阶导数．
当或时，，故函数（）为凸函数；
当时，，故函数（）为上凸函数．
如下由琴生不等式立得．
8．已知正实数（，，…，）满足．
求证：．
证明：考察函数，．因，故该函数为凸函数．
而（，，…，），因此
．（）
去掉对数符号立得．
4．设，实数，都不为零，且．则
（1）若，同号，则；
（2）若，异号，则．
证明：当，同号时，两者都是正数，由不等式单调性得，，由切比雪夫不等式得（1）成立；
当，异号时，假设，，由不等式单调性得，，由切比雪夫不等式得（2）成立；
5．设、、为某一三角形三边长，求证：
．
证明：不妨设，易证．由排序原理得

．
6．设，．求证：
．
其中，，…，是，，…，任意一种排列．
证明：要证，只要证
．只要证
．
由题设及排序原理上式显然成立．
7．在中求证：
（1）；
（2）；
证明：（1）考察函数，其在上为凸函数；
（2）考察函数，在上是凸函数．证明如下：
即证．

．证毕．
8．设，，，…，．那么
（1）；
（2）．
证明：（1）考察函数，其在上为凸函数．
（2）考察函数，其在上为凸函数．证明如下：
令，，则

．
将上述不等式两端取自然对数，得
，
即
．
故函数在上为凸函数．
由琴生不等式
．
故
．
4．平均值不等式
设，对于，则

其中档号当且仅当时成立。
如下为阅读材料
5．贝努利不等式
　　（1）设 ，且同号，则

　　（2）设 ，则
　　（ⅰ）当 时，有 ；
　　（ⅱ）当 或 时，有 ，上两式当且仅当 时等号成立。
　　不等式（1）一种重要特例是
　　 （ ）
6．艾尔多斯—莫迪尔不等式
　　设P为 内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则
　　 ，
　　当且仅当 为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号。
　　这是用于几何问题证明和求最大（小）值时一种重要不等式。
7．幂平均不等式
8．权方和不等式