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六年奥数综合练习题十二答案〔比与比例关系〕
比与比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要根底.有了“比〞这个概念与表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多.我们希望，小学同学学完这一讲，对“除法、分数、比例实质上是一回事，但各有用处〞有所理解.
　　这一讲分三个内容：
　　一、比与比的分配；
　　二、倍数的变化；
　　三、有比例关系的其他问题.
一、比与比的分配
　　最根本的比例问题是求比或比值.从一些比或者其他数量关系，求出新的比.
　　例1∶2，乙的长及宽之比是7∶5.求甲及乙的面积之比.
　　解：设甲的周长是2.
　　甲及乙的面积之比是
　　答：甲及乙的面积之比是864∶875.
　　作为答数，求出的比最好都写成整数.
　　例2 如右图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两局部，它们的面积之比是10∶7.
　　求上底AB及下底CD的长度之比.
　　解：因为E是中点，三角形CDE及三角形CEA面积相等.
　　三角形ADC及三角形ABC高相等，它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积
　　=〔10-7〕∶〔7×2〕= 3∶14.
　　答：AB∶CD=3∶14.
　　两数之比，可以看作一个分数，处理时及分数计算几乎一样.三数之比，却及分数不一样，因此是这一节讲述的重点.
　　例3 大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之与，求及之比.
　　解：大杯及中杯容量之比是5∶2=10∶4，
　　中杯及小杯容量之比是4∶3，
　　大杯、中杯及小杯容量之比是10∶4∶3.
　　=〔10×2+4×3+3×4〕∶〔10×5+4×4+3×3〕
　　=44∶75.
　　答：两者容量之比是44∶75.
　　把5∶2及4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你连比的方法，再举一个更一般的例子.
　　甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，
　　3∶5=3×7∶5×7=21∶35，
　　7∶4=7×5∶4×5=35∶20，
　　甲∶乙∶丙=21∶35∶20.
　　花了多少钱？
　　解：根据比例及乘法的关系，
　　连比后是
　　甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2
　　=32∶48∶63.
　　答：甲、乙、丙三人共花了429元.
　　例5 有甲、乙、丙三枚长短不一样的钉子，甲及乙
　　，而它们留在墙外的局部一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？
　　解：设甲的长度是6份.
　　∶x=5∶4.
　　乙及丙的长度之比是
　　而甲及乙的长度之比是 6∶5=30∶25.
　　甲∶乙∶丙=30∶25∶26.
　　答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.
　　于利用条件6∶5，使大局部计算都整数化.这是解比例与分数问题的常用手段.
　　例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？
解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是
　　答：这些糖果每千克平均价是27.5元.
　　上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子及分母，就有：
　　事实上，有稍简捷的解题思路.
　　解二：先求出这三种糖果所买数量之比.
　　不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.
　　平均数是〔15+11+10〕÷3=12.
　　单价33元的可买10份，要买12份，单价是
　　下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配〞问题，当一个数量被分成假设干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.
　　例7 一个分数，分子及分母之与是100.如果分子加23，分母加32，
　　解：新的分数，分子及分母之与是〔10+23+32〕，而分子及分母之比2∶
　　例8 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？
　　解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.
　　三人工作效率之比是
　　他们分别需要完成的工作量是
　　所需时间是
　　700×3=2100分钟〕=35小时 .
　　答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.
　　这是三个数量按比例分配的典型例题.
　　例9 某团体有100名会员，男会员及女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数及乙、丙两组人数之与一样多.各组男会员及女会员人数之比是：
　　甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，
　　那么丙有多少名男会员？
　　解：甲组的人数是100÷2=50〔人〕.
　　乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 〔人〕.
　　答：丙组有12名男会员.
　　上面解题的最后一段，实质上及“鸡兔同笼〞解法一致，可以设想，“兔
　　例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶∶5∶6.他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？
　　解一：通常我们要求出小龙走平路及下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.
　　上坡、平路、下坡的速度之比是
　　走完全程所用时间
　　答：小龙走完全程用了10小时25分.
∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.
　　解二：全程长是上坡这一段长的〔1+2+3〕=6〔倍〕.如果上坡用的时
二、比的变化
　　两个数量的比，当这两个数量发生增减变化后，当然比也发生变化.通过变化的描述，如何求出原来的两个数量呢？这就是这一节的内容.
　　例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，那么他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？
　　解一：甲、乙两人的分数之与没有变化.原来要分成5+4=9份，变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9及12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.
　　5∶4=〔5×4〕∶〔4×4〕=20∶16.
　　5∶7=〔5×3〕∶〔7×3〕=15∶21.
÷5×20=90〔分〕，
÷5×16=72〔分〕.
　　答：原来甲得90分，乙得72分.
　　我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.
　　解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.
　　〔5x-22.5〕∶〔4x+22.5〕=5∶7
　　即 5〔4x+22.5〕=7〔5x-22.5〕
　　15x=12×
　　x=18.
　　甲原先得分18×5=90〔分〕，乙得18×4=72〔分〕.
　　解：其他球的数量没有改变.
　　增加8个红球后，红球及其他球数量之比是
　　5∶〔14-5〕=5∶9.
　　在没有球增加时，红球及其他球数量之比是
　　1∶〔3-1〕=1∶∶9.
　　因此8个红球是5-4.5=0.5〔份〕.
　　现在总球数是
　　答：现在共有球224个.
∶∶9，就是充分利用这一特点.此题也可以列出如下方程求解：
　　〔x+8〕∶2x=5∶9.
　　例13 张家及李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？
　　解一：我们采用“假设〞方法求解.
　　如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶
　　240∶x=8∶5，x=150〔元〕.
∶5中5份及8∶3中3份的差，每份是120÷〔5-3〕=60.〔元〕.因此可求出
　　答：张家收入720元，李家收入450元.
　　解二：设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍及李家开支的8倍的钱一样多.
　　我们画出一个示意图：
　　张家开支的3倍是〔8份-240〕×3.
　　李家开支的8倍是〔5份-270〕×8.
　　从图上可以看出
　　5×8-8×3=16份，相当于
　　270×8-240×3=1440〔元〕.
　　因此每份是1440÷16=90〔元〕.
　　张家收入是90×8=720〔元〕，李家收入是90×5=450〔元〕.
　　此题也可以列出比例式：
　　〔8x-240〕∶〔5x-270〕=8∶3.
　　然后求出x.事实上，解方程求x的计算，及解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.
　　例14 A与B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.
　　解：减少一样的数34，因此未减时，及减了以后，A及B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.
　　8∶5，就是8份及5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项及后项都乘以3，即2∶1=6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2〔份〕或5-3=2〔份〕.因此，每份是34∶2=17.
　　A数是17×8=136，B数是17×5=85.
　　答：A，B两数分别是136及85.
　　此题也可以用例13解一“假设〞方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4.
　　例15 小明与小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？
　　解一：充分利用数据的特殊性.
　　4+3=7，5+2=7，15-8=7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，
　　新的1份=原来1份+1
　　原来4份，新的5份，5-4=1，因此
　　新的1份有15-1×4=11〔张〕.
　　小明原有图画纸11×5-15=40〔张〕，
　　小强原有图画纸11×2+8=30〔张〕.
　　答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.
　　解二：我们也可采用例13解一的“假设〞方法.先要将两个比中的前项化成同一个数〔实际上就是通分〕
　　4∶3=20∶15
　　5∶2=20∶8.
　　但现在是20∶8，因此这个比的每一份是
　　当然，也可以采用实质上及解方程完全一样的图解法.
　　解三：设原来小明有4“份〞，小强有3“份〞图画纸.
　　把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：
　　从图上可以看出，3×5-4×2=7〔份〕相当于图画纸15×2+8×5=70〔张〕.
　　因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.
　　例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差异.用算术方法，却可以充分利用数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.例13的解一，也是一种通用的方法.“假设〞这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.
　　例16 粗蜡烛与细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？
　　我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点
　　等需要时间是
　　答：这两支蜡烛点了3小时20分.
　　把细蜡烛的长度与每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍〞变成“相等〞，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.
　　例17 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过假设干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？
　　解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.
　　因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩 3×3＝ 9只.因此.共取了〔51- 3×3〕÷〔7×3-15〕＝ 7〔次〕.
　　红球有 15×7＋ 53＝ 158〔只〕.
　　白球有 7×7＋3＝52〔只〕.
　　原来红球比白球多 158-52＝106〔只〕.
　　答：箱子里原有红球数比白球数多106只.
三、比例的其他问题
　　，这里必须用分数来说，而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系：
　　〔甲-7〕∶乙= 2∶3.
　　因此，有些分数问题，就是比例问题.
　　加33张，他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张？
　　答：这些画片有261张.
　　解：设最初的水量是1，因此最后剩下的水是
　　样重，就有
　　因此原有水的重量是
　　答：容器中原来有水.
　　例18与例19，通常在小学数学中，叫做分数应用题.“比〞有前项与后项，当两项合在一起写成一个分数后，才便于及其他数进展加、减运算.这就是把比〔或除法〕写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比，计算就方便些.
　　例20 有两堆棋子， A堆有黑子 350个与白子500个， B堆有黑子
　　堆中拿到 A堆黑子、白子各多少个？
　　子100个，使余下黑子及白子之比是〔40-100〕∶100＝3∶1.再要从 B堆拿出黑子及白子到A堆，拿出的黑子及白子数目也要保持3∶1的比.
　　现在 A堆已有黑子 350＋ 100＝ 450个〕，及已有白子500个，相差
　　从B堆再拿出黑子及白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是
　　50÷〔3-1〕＝25〔个〕.
　　再要拿出黑子数是 25×3＝ 75〔个〕.
　　答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个.
　　人，问高、初中毕业生共有多少人？
　　解一：先画出如下示意图：
　　6-5＝1，相当于图中相差 17-12＝5〔份〕，初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是
　　520÷〔30-17〕= 40〔人〕.
　　因此，高、初中毕业生共有
　　40×〔17＋12〕＝ 1160〔人〕.
　　答：高、初中毕业生共1160人.
　　计算出每份是
　　例21及例14是完全一样的问题，解一及例14的解法也是一样的.〔你是否发现？〕解二是通常分数应用题的解法，显然计算不如解一简便.
　　例18，19，20，21四个例题说明分数及比例各有好处，你是否从中有所心得？当然关键还是在于灵活运用.
　　下的钱共有多少元？
　　解：设钢笔的价格是1.
　　这样就可以求出，钢笔价格是
　　张剩下的钱数是
　　李剩下的钱数
　　答：张、李两人剩下的钱共28元.
“1〞统一地折算.解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧.
　　作为这一讲最后的内容，我们通过两个例题，介绍一下“混合比〞.
　　用100个银币买了100头牲畜，问猪、山羊、绵羊各几头？
　　这是十八世纪瑞士大数学家欧拉〔1707～1783〕提出的问题.
　　们设1头猪与5头绵羊为A组，3头山羊与2头羊绵为B组.A表示A组的数，B表示B组的数，要使
　　〔1＋ 5〕× A＋〔3＋ 2〕× B＝100，
　　或简写成 6A＋5B＝100.
　　就恰好符合均价是1.
　　类似于第三讲鸡兔同笼中例17，很明显，A必定是5的整数倍.A＝5， B＝ 4， 6×5＋ 5×4＝50，50是 100的约数，符合要求.
　　A＝5，猪 5头，绵羊 25头，
　　B=4，山羊12头，绵羊8头.
　　猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶〔25＋8〕.
　　现在已把1∶5与3∶2两种比，组合在一起通常称为混合比.
　　要注意，这样的问题常常有多种解答.
　　A= 5， B＝14或 A＝15，B＝2才能产生解答，相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.
　　答：有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.
　　求混合比是一种很实用的方法，对数学有兴趣的小学同学，学会这种方法是有好处的，会增加灵活运用比例的技巧.
　　通常求混合比可列下表：
　　下面例题及例23是同一类型，但由于题目的条件，解法上稍有变化.
　　例24 某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10％，买 3件降价 20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的 85％出售，那么买3件的顾客有多少人？
　　解：题目已给出平均数 85％，可作比拟的基准.
　　1人买3件少 5％×3；
　　1人买2件多 5％×2；
　　1人买1件多 15％ ×1.
　　1人买3件及1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件及3人买2件成B组，即按2∶3的比例.
　　A组是2人买4件，每人平均买2件.
　　B组是5人买12件，每人平均买2.4件.
　　现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.
　　B组人数是
　　〔76-2×33〕÷〔24-2〕＝ 25〔人〕，
　　A组人数是 33-25＝8〔人〕，其中买 3件4人，买 1件4人.
　　10＋ 4＝ 14〔人〕.
　　答：买3件的顾客有14位.
　　建立两种比的A组与B组，及例23的解题思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因为对A组与B组，不仅要从人数考虑满足2A+5B＝33，还要从买的件数考虑满足 4A＋12B＝76.这已完全确定了A组与B组的数，不必再求混合比.
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