学生书-§1-1-集合.docx

§1.1　集合
(对应答案分册第1页)

1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法

集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N+)
　Z　
Q
R

　　2.集合间的基本关系
(1)基本关系

关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)

真子
集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A⫋B
(或B⫌A)

(续表)
关系
自然语言
符号语言
Venn图
集合
相等
集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集
A=B

　　(2)结论
①空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集,符号表示为⌀⊆A,⌀⫋B(B≠⌀).
②对于任意集合A,A⊆A.
③若A⊆B,B⊆C,则A⊆C.
3.集合的基本运算

　表
示
运
算　
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
{x|x∈A,
且x∈B}

A∩B
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A,
或x∈B}

A∪B

(续表)

　表
示
运
算　
文字语言
符号语言
图形语言
记法
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
{x|x∈U,且
x∉A}

UA

　　4.集合的运算性质
(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.
(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.
(3)补集的性质:A∪(UA)=U;A∩(UA)=⌀;U(UA)=A;U(A∪B)=(UA)∩(UB);U(A∩B)=(UA)∪(UB).
(4)若有限集A中有n个元素,则A的子集的个数为2n,非空子集的个数为2n-1,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.

　　判断集合间的基本关系的三种方法
①一一列举观察.
②集合元素特征法:先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用其特

征判断集合间的基本关系.
③数形结合法:利用数轴或Venn图.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(　　)
(2)若{x2,1}={0,1},则x的值为0或1.(　　)
(3){x|x≤1}={t|t≤1}.(　　)
(4)若集合A={(x,y)|y=x-1},B={y|y=-2x+5},则A∩B={⌀}.(　　)
【对接教材】
2.已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若A⊆B,则实数a的取值范围为　　　　. 
3.设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(RB)=(　　).

A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1}
C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2}
【易错自纠】
4.已知集合A={1,3,m},B={1,m},若B⊆A,则实数m=　　　　. 
5.已知集合M={x|x-2=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是　　　　. 

　集合的概念　【题组过关】
1.(2022·山东泰安模拟)设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为(　　).

A.3 B.4 C.5 D.6
2.(2022·陕西三模)设集合A={x|3x-1<m},若1∈A且2∉A,则实数m的取值范围是(　　).
A.2<m<5 B.2≤m<5
C.2<m≤5 D.2≤m≤5
3.(2022·山东模拟)已知集合A={x∈N|1<x<2k+1},集合A中至少有3个元素,则实数k的取值范围为　　　　. 
　　点拨　求解与集合中的元素有关问题的注意事项:(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的,那么首先要搞清楚集合中元素代表的含义,再看元素的限制条件,确定集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合;(2)如果是根据已知条件列方程求参数值,一定要将参数值代入集合中检验,看是否满足元素的互异性.
　集合间的基本关系　【典例迁移】
　　(1)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则(　　).

A.S=T B.S⊆T
C.T⊆S D.T∈S
(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为　　　　. 
　　【变式设问】本例(2)中其他条件保持不变,若B⫋A,则实数m的取值范围为　　　　. 
　　点拨　(1)判断两集合关系的方法:①对于用描述法表示的集合,把集合化简后,从表达式中寻找两集合间的关系;②对于用列举法表示的集合,从元素中寻找关系.
(2)根据两集合间的关系求参数的方法:已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

　　空集是任何集合的子集,当题目的条件中有B⊆A时,应分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.

　　【追踪训练1】(1)(2022·西安模拟)设集合M={x|x2-x>0},N=x1x<1,则(　　).
A.M⊆N B.N⊆M
C.M=N D.M∪N=R
(2)若集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},且B⊆A,则实数m的取值范围为　　　　.　 
　集合的基本运算　【考向变换】
　　考向1　集合的运算
(1)(2021年全国甲卷)设集合M={x|0<x<4},N=x13≤x≤5,则M∩N=(　　).

A.x0<x≤13 B.x13≤x<4
C.x4≤x<5 D.x0<x≤5
(2)(2022·河南焦作模拟)若集合A={x|2x2-9x>0},B={y|y≥2},则(RA)∪B=(　　).
A.2,92 B.⌀
C.[0,+∞) D.(0,+∞)
　　点拨　集合运算的常用方法:①若集合中的元素是离散的,则常用Venn图求解;②若集合中的元素是连续的实数,则用数轴求解,此时要注意端点的取舍.
　　【追踪训练2】(1)(2022·湖北模拟)已知全集U={x∈N|0<x<8},A∩(UB)={1,2},U(A∪B)={5,6},B∩(UA)={4,7},则集合A为(　　).
A.{1,2,4} B.{1,2,7}
C.{1,2,3} D.{1,2,4,7}
(2)(2022·江西八校联考)已知集合M=[-1,1],N={y|y=x2,x∈M},则M∩N=(　　).
A.[0,1] B.[-1,1]
C.[0,1) D.(0,1]
　　考向2　利用集合的运算求参数
(2020年全国Ⅰ卷)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=(　　).
A.-4 B.-2 C.2 D.4
　　点拨　利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法:①与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到;②若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.

　　在求出参数后,注意结果的验证(满足集合的互异性).

　　【追踪训练3】(1)(2022·江西模拟)设集合A={x|x2-x-6<0},B={1,m},且A∩B有4个子集,则实数m的取值范围是(　　).
A.(-2,1)
B.(-2,1)∪(1,3)
C.(-2,3)
D.(-∞,1)∪(3,+∞)
(2)已知集合A={x|y=m-x},B=(2-m,+∞).若A∪B=R,且A∩B=⌀,则m=　　　. 

　分类讨论求解参数的值或取值范围
　　在集合中,蕴含了许多分类讨论的问题,如讨论是否存在空集、参数取值范围等.
　　用C(A)表示非空集合A中的元素的个数,定义A*B=|C(A)-C(B)|.已知集合A={-1,1},B={x|(ax2+3x)(x2+ax+2)=0},若A*B=1,假设实数a的所有可能取值构成集合S,则C(S)=(　　).

A.1 B.2 C.3 D.5

　　解决集合的新定义问题的两个切入点:(1)正确理解新定义.这类问题不是简单地考查集合的概念或性质的问题,而是以集合

为载体的有关新定义的问题.常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等.(2)合理利用集合的性质和分类讨论思想.

　　【突破训练】(2022·湖北襄阳模拟)已知集合M={x|1-a<x<2a},N=(1,4),且M⊆N,则实数a的取值范围是(　　).
A.(-∞,2] B.(-∞,0]
C.-∞,13 D.13,2
链接《精练案》分册P1