非线性科学与复杂系统9N讲解.pptx

3.5 孤波（孤波（soliton）由英国人罗素（由英国人罗素（J.S.Russell)1834年首先发现。年首先发现。（1）非线性耦合振子）非线性耦合振子coupling oscilators弹簧扭矩弹簧扭矩弹簧弹簧小摆幅，线性化小摆幅，线性化linearization行波解行波解cc.前项的复共轭前项的复共轭（波动复习）（波动复习）色散关系色散关系dispersion law禁带：禁带：此时此时 为虚数，对应指数衰减波。为虚数，对应指数衰减波。线性波动方程的解是简单的，任意解都可以线性波动方程的解是简单的，任意解都可以展开为各种行波的叠加。展开为各种行波的叠加。An arbitrary wave can be expressed as a superposition of plane waves波动在介质中传播，能量不损耗。波动在介质中传播，能量不损耗。行波特点：波以固定的形状在空间运动。行波特点：波以固定的形状在空间运动。导带：导带：（波动复习）（波动复习）band gaptransparent band波包：波包：wave packet（波动复习）（波动复习）波包波包分波相位分波相位波数分布波数分布（波动复习）（波动复习）如果相位在如果相位在随随k快速变化，快速变化，振幅近似等于零。振幅近似等于零。因此波包中心可以定义为相位随因此波包中心可以定义为相位随k变化最慢的地方：变化最慢的地方：群速度群速度group velocity（波动复习）（波动复习）波幅明显不等于零的地方，位相在波幅明显不等于零的地方，位相在缓慢变化。此范围的边界可由下式估计：缓慢变化。此范围的边界可由下式估计：当波包为高斯型时，等号成立。当波包为高斯型时，等号成立。可证对任意波包，可证对任意波包，uncertainty relation（波动复习）（波动复习）波包不确定性关系波包不确定性关系对一个给定对一个给定的分波，它的波形运动速度由的分波，它的波形运动速度由等相面的运动速度给出，等相面的运动速度给出，相速度：相速度：如果如果线性依赖于线性依赖于，则相速度等于群速度，则相速度等于群速度如果如果非线性依赖于非线性依赖于，则相速度与，则相速度与 有关，有关，即不同颜色的波速度不同。这个现象称为色散。即不同颜色的波速度不同。这个现象称为色散。色散关系：色散关系：dispersion law（波动复习）（波动复习）phase velocity（波动复习）（波动复习）fasterslower非线性方程非线性方程effect of nonlinearitysine-Gordon方程方程行波（平面波）不是解。行波（平面波）不是解。但是否存在类似行波的但是否存在类似行波的形状固定形状固定的解呢？的解呢？is there wave of fixed form?形状固定的波的一般形式：形状固定的波的一般形式：假如形状固定的波存在，把其一般形式代入波假如形状固定的波存在，把其一般形式代入波动方程，动方程，from the wave equation,one has积分一次：积分一次：after the first integration 通解即使存在，一般也很难找到通解。通解即使存在，一般也很难找到通解。if there is,it must be a function of xi 但对这个问题，如果但对这个问题，如果可以得到简单的解：可以得到简单的解：当当有有有有当当亮孤子亮孤子bright soliton暗孤子暗孤子dark soliton 在线性系统中，仅当介质没有色散时才存在形在线性系统中，仅当介质没有色散时才存在形状固定的行波。状固定的行波。在非线性系统中，色散可以被非线性效应抵消，在非线性系统中，色散可以被非线性效应抵消，出现形状固定的孤波。出现形状固定的孤波。通过下面的分析大致可看到这种可能性：通过下面的分析大致可看到这种可能性：因为频率与振幅有关，非线性项从任意一个给因为频率与振幅有关，非线性项从任意一个给定频率（波数）的波中产生新的不同频率（波数）定频率（波数）的波中产生新的不同频率（波数）的波，所以波包的波数不确定性的波，所以波包的波数不确定性 由于非线性作用由于非线性作用变大。有不确定性关系知，波包的空间不确定性变大。有不确定性关系知，波包的空间不确定性 相应变小。相应变小。所以非线性作用可以抵消使波包散开的色散。所以非线性作用可以抵消使波包散开的色散。（2）Korteweg-de-Vries(KdV)方程方程1895年年Kruskal和和de Vries导处长波和小振导处长波和小振幅近似下的水面波方程幅近似下的水面波方程缘由：缘由：它其实是非常普遍的一个具有色散和非线性的方它其实是非常普遍的一个具有色散和非线性的方程。程。先看一个线性的向右传播的波动方程：先看一个线性的向右传播的波动方程：无色散：无色散：存在弱色散时，存在弱色散时，存在弱非线性项（最高到存在弱非线性项（最高到2次）时，方程有一般的形式次）时，方程有一般的形式都是小量，所以都是小量，所以再作标度变换再作标度变换参考系变换参考系变换得得KdV方程方程由由可见：非线性项使得分波的速度依赖于分波的振幅。可见：非线性项使得分波的速度依赖于分波的振幅。对形状固定的波，对形状固定的波，代入代入KdV方程得方程得积分一次得积分一次得再积分一次得再积分一次得设设的三个根为的三个根为解：解：其中其中为雅可比椭圆函数，周期为为雅可比椭圆函数，周期为2k故故u的周期为的周期为当当 k=0时，时，当当k=1 时，时，其中其中为无穷运处的均匀值。为无穷运处的均匀值。KdV孤子解：速度正比于振幅孤子解：速度正比于振幅a，波宽反比于，波宽反比于a的平方根。的平方根。应用：空气动力学，水波，磁流体波，离子声应用：空气动力学，水波，磁流体波，离子声波等。波等。孤子解为什么没有色散？孤子解为什么没有色散？Why soliton has no dispersion?无穷多守恒量无穷多守恒量令令代入代入得得令令得守恒流方程得守恒流方程注意注意 是任意参数是任意参数守恒量：守恒量：