20届高考数学一轮(江苏版)习题-第6讲随机变量的均值与方差.doc

第6讲　随机变量的均值与方差
一、填空题
1．已知离散型随机变量X的概率分布为
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差V(X)＝________.
解析　由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴V(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.
答案　2.44
2．(2017·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．
解析　设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B(1 000,0.1)，且X＝2ξ，∴E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝2×1 000×0.1＝200.
答案　200
3．已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为________．
解析　由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，V(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.
答案　6,0.4
4．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则V(ξ)＝________.
解析　设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以V(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
答案　
5．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，V(η)分别是________．
解析　由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(η)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
答案　2.4
6．口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是________．
解析　由题意知，X可以取3,4,5，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝＝，
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5.
答案　4.5
7．(2017·扬州期末)已知X的概率分布为
X
－1
0
1
P

a
设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________．
解析　由概率分布的性质，a＝1－－＝，
∴E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，
因此E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝.
答案　
8．(2017·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是________元．
解析　由题意知a＋2a＋4a＝1，∴a＝，∴获得一、二、三等奖的概率分别为，，，∴所获奖金的期望是E(X)＝×7 000＋×5 600＋×4 200＝5 000元．
答案　5 000
二、解答题
9．(2017·苏州调研)一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率为，购买B种商品的概率为，购买C种商品的概率为.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．
(1)求该网民至少购买两种商品的概率；
(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．
解　(1)记“该网民购买i种商品”为事件Ai，i＝2,3，
则P(A3)＝××＝，
P(A2)＝××＋××＋××＝，
所以该网民至少购买两种商品的概率为P(A3)＋P(A2)＝＋＝，
(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3，
P(η＝0)＝××＝，
又P(η＝2)＝P(A2)＝，P(η＝3)＝P(A3)＝，
所以P(η＝1)＝1－－－＝.
所以随机变量η的概率分布为
η
0
1
2
3
P

故数学期望E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
10．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)一个摸球游戏，规则如下：在一个不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球，参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次，参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．
(1)求概率P(X＝0)的值；
(2)为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．
解　(1)由题知事件“X＝0”表示“有放回的摸球3次，所指定的玻璃球只出现1次”，则P(X＝0)＝C××2＝.
(2)由题知X的可能值为k，－1,1,0，
且P(X＝－1)＝C×3＝，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝C×2×＝，
P(X＝k)＝C×3＝，
所以参加游戏者的收益X的概率分布为
X
－1
0
1
k
P

所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＋k×＝(元)，
为使收益X的数学期望不小于0元，则k≥110，所以k的最小值为110.
11．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则V(X)＝________.
解析　由题意，X～B，
又E(X)＝＝3，∴m＝2，
则X～B，故V(X)＝5××＝.
答案　
12．袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E(ξ)为________．
解析　依题意得，ξ的所有可能取值是0,1,2.
且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
答案　
13．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：
x
1
2
3
P(ξ＝x)
？
！
？
请小牛同学计算ξ的均值．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
解析　设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则E(ξ)＝1×x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.
答案　2
14．(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
解　(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.
(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.
又P(AB)＝P(B)，
故P(B|A)＝＝＝＝.
因此所求概率为.
(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.