【全国百强校首发】广东省深圳市高级中学2019届高三12月模拟考试数学(文)试题.doc

深圳高级中学2019届高三年级12月模拟考试
文科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则(∁RB)∩A＝(　　)
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}
2.已知是虚数单位，则复数的模为(　　)
A.1 B.2 C. D.5
3．抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀骰子，“向上的两个数之和为3”的概率是
A． B． C． D．
4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）

5.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，点A在第一象限，若，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．[来源:Z§xx§k.Com]
6.已知，，且，则向量与夹角的大小为
A. B. C. D.
7．设命题：，，命题：，，则下列命题中是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
8. 已知，函数在上单调递减．则的取值范围是
A． B． C． D．
9.已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C. 或 D．或
10．如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为
A． B．
C． D．
11.在中，设角的对边分别是，已知，则的面积为(　　)
A． B． C． D．
12．已知函数定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时， ②函数有2个零点
③的解集为 ④，都有
其中正确命题个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
O
x
y
C(3,4)
B(3,2.5)
A(2,3)
13．若是偶函数，则____________.
14.若，则___________.
15. 巳知点在ΔABC所包围的阴影区域内(包含边界),
若B(3, )是使得取得最大值的最优解,则
实数的取值范围为
16．在直角坐标系中，已知直线与椭圆：相切，且椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则△的面积为 ．
三、解答题（本大题共 6小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）已知正项数列的前项和为，且是和的等差中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，且成等比数列，当时，求数列的前项和．

18（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数[来源:Z.xx.k.Com]
6
26
38
22
8
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

[来源:学科网ZXXK]
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，平面平面ABC，D是AC的中点.
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)若，
求三棱锥的体积.

20.（本小题满分12分）
设椭圆：()的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且内切于圆。
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，是椭圆的下焦点，在椭圆上是否存在点P，使的周长最大？若存在，请求出周长的最大值，并求此时的面积；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分12分）
已知（e为自然对数的底数)
（1）若在处的切线过点，求实数的值
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围

22.选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点；
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若，求直线的倾斜角的值。

23.选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）
设函数。
（1）求不等式的解集；
（2）若存在x使不等式成立，求实数a的取值范围。

深圳高级中学2019届高三年级12月模拟考试
文科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
A
D
C
B
B
D
C
A
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13. 14 15. 16. 1
三、解答题（本大题共 6小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17． 解析：（Ⅰ）∵是和的等差中项，∴又
两式相减并化简得
又，所以，故数列是公差为1的等差数列……4分
当时，，又，∴∴…………6分
（Ⅱ）设等比数列的公比为，由题意知
，又，所以………12分
18.解：（1）
（2）质量指标值的样本平均数为
质量指标值的样本方差为

所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.
（3）依题意= 68％ < 80％所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定。………12分
19.
解：（1）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1中点，

20、解：（1）∵双曲线的离心率为，∴椭圆M的离心率为
∵椭圆M内切于圆
得： 所求椭圆M的方程为 ．……………5分
（2）椭圆M的上焦点为，由椭圆的定义得：
的周长为

当且仅当点P在线段的延长线上时取等号。
∴在椭圆M上存在点P，使的周长取得最大值， ……………9分
直线的方程为，由
∵点P在线段的延长线上，∴点P的坐标为，…………………11分
的面积…………………12分
22.解：（1）∵ …3分
∴，
∴曲线的直角坐标方程为。………………………5分
（2）当时，，∴，∴舍 …………6分
当时，设，则，
∴圆心到直线的距离
由
……………………………10分
23.解：(Ⅰ)由得，
∴
∴不等式的解集为
(Ⅱ)令
则，∴
∵存在x使不等式成立，∴…………10分
21.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则(∁RB)∩A＝(　　)
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}
2.已知是虚数单位，则复数的模为(　　)
A.1 B.2 C. D.5
3．抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀骰子，“向上的两个数之和为3”的概率是
A． B． C． D．
4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
【答案】A
5.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，点A在第一象限，若，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【 解析】由题可知焦点 ，设点 ， 由 ，则 ,
即 ，故直线斜率为 ，选D
6.已知，，且，则向量与夹角的大小为
（A） （B） （C） （D）
7．设命题：，，命题：，，则下列命题中是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
8. 已知，函数在上单调递减．则的取值范围是
A． B． C． D．
9.已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C. 或 D．或

10．如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为
A． B．
C． D．

11.在中，设角的对边分别是，已知，则的面积为(　　)
A．B．C．D．
【试题解析】　，
如图，设
在直角中，
解之得．
12．已知函数定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时， ②函数有2个零点
③的解集为 ④，都有
其中正确命题个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．若是偶函数，则____________.【答案】
14.若，则___________.
O
x
y
C(3,4)
B(3,2.5)
A(2,3)
15. 巳知点在ΔABC所包围的阴影区域内(包含边界),
若B(3, )是使得取得最大值的最优解,则
实数的取值范围为
16．在直角坐标系中，已知直线与椭圆：相切，且椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则△的面积为 ．1
三、解答题（本大题共 6小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）已知正项数列的前项和为，且是和的等差中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，且成等比数列，当时，求数列的前项和．
解析：（Ⅰ）∵是和的等差中项，∴又
两式相减并化简得[来源:学|科|网Z|X|X|K]
又，所以，故数列是公差为1的等差数列……4分
当时，，又，∴∴…………6分[来源:Z&xx&k.Com]
（Ⅱ）设等比数列的公比为，由题意知
，又，所以………12分
18（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
18.解：（1）
（2）质量指标值的样本平均数为
质量指标值的样本方差为

所以，这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.
（3）依题意= 68％ < 80％所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80％”的规定。………12分
19.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，平面平面ABC，D是AC的中点.
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)若，
求三棱锥的体积.
解：（1）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1中点，

20.（本小题满分12分）
设椭圆：()的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且内切于圆。
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，是椭圆的下焦点，在椭圆上是否存在点P，使的周长最大？若存在，请求出周长的最大值，并求此时的面积；若不存在，请说明理由。
20、解：（1）∵双曲线的离心率为，∴椭圆M的离心率为
∵椭圆M内切于圆
得： 所求椭圆M的方程为 ．……………5分
（2）椭圆M的上焦点为，由椭圆的定义得：
的周长为

当且仅当点P在线段的延长线上时取等号。
∴在椭圆M上存在点P，使的周长取得最大值， ……………9分
直线的方程为，由
∵点P在线段的延长线上，∴点P的坐标为，…………………11分
的面积…………………12分
21.（本小题满分12分）已知（e为自然对数的底数)
（1）若在处的切线过点，求实数的值
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围

22.选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点；
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若，求直线的倾斜角的值。
22.解：（1）
∵ …3分
∴，
∴曲线的直角坐标方程为。………………………5分
（2）当时，，∴，∴舍 …………6分
当时，设，则，
∴圆心到直线的距离
由
……………………………10分
23.选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）
设函数。
（1）求不等式的解集；
（2）若存在x使不等式成立，求实数a的取值范围。

23.解：(Ⅰ)由得，
∴
∴不等式的解集为 ………………………………4分
(Ⅱ)令
则，∴…………………………8分
∵存在x使不等式成立，∴…………10分