高层楼房电梯配置.docx
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1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是(从A/B/中选择一项填写): 2009年B题 我们的参赛报名号为(如果赛
2、区设置报名号的话): 所属学校(请填写完整的全名): 河南科技大学 参赛队员 (打印并签名) :1. 温阳 2. 周奇衡 3. 赵高峰 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 日期: 2010 年 8 月 30日摘要本文涉及的是一个高层办公电梯的分配问题。如果电梯的分配不合理,就会出现底楼的拥挤现象,影响办公环境的正常秩序,加大工作人员的等待时间。因此建立合理的电梯分配是很有必要的,可以使办公人员快速有序的到达所需楼层。针对问题一:为了满足能够尽快地将各层人流快速送到,需对电梯进行分组,以达到乘客平均等待时间最短,对此建立非线性优化问题的模型。对于问题的求解采用的是穷举法,根据乘客的平均
3、等待时间以及5min内的电梯输送效率,并且联系实际情况(电梯的分组都是偶数),最后得出的最优化方案有两个:其一是电梯分为2组,2台服务24层,4台服务530层;其二是电梯均分为3组,2台服务211层,2台服务1221层,2台服务2230层。最后根据楼层的具体人员分布,对这2种方案进行检验,知这两种方案都是可行的。针对问题二:为了满足要求,建立了三个衡量标准的体系:1) 乘客的平均等待时间的最大值Q2) 每组电梯的均衡性3) 电梯安装和使用的总的花费建立优化问题的模型。根据问题一中的结果考虑,把楼层依照“近均分法”进行不同分组的分配,分别求出各种电梯分组情况下的最优方案。使用层次分析法对几种分组
4、情况下进行加权分析,最终得出的最优方案是电梯分为四组,3台最大速度为243.8m/min的电梯服务于211层,4台最大速度为304.8m/min的电梯服务于1215层,3台最大速度为304.8m/min的电梯服务于1622层,4台最大速度为365.8m/min的电梯服务于2330层.关键字: 穷举法 非线性规划 均衡性 层次分析 一 问题重述1.1 背景资料商用写字楼在早上8点20分到9点00分这段时间里,上班的人陆续到达,底楼等电梯的地方就人山人海。公司强烈要求设计一个合理有效的电梯调度运行方案,能够尽可能的减少上班高峰期间的人员等待,使得电梯的使用效率最大化。(1) 数据表l 各楼层办公人
5、数(个)一览表楼层楼层楼层人数楼层人数楼层人数12345678 208 177 222 130 181 191 236910111213141516236139272272272270300264171819202l222324200200200200207207207207252627282930205205140136132132(2) 第一层的高度为762m,从第二层起相邻楼层之间的高度均为39l m;(3) 电梯的最大运行速度是304.8mmin,电梯由速度0线性增加到全速,其加速度为1.22ms2; (4) 电梯的容量为19人每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s和0.5s,开关
6、电梯门的平均时间为3s,其它损失时间(如果考虑的话)为上面3部分时间总和的10; (5) 底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟;1.2 需要解决的问题第一问:假如现有6部电梯,请你设计一下电梯调运方案,使得在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到,减少候梯时间。第二问:如果大厦管理者想重新安装改造电梯,除满足以上运行要求外,还考虑电梯安装的安装成本,比如用较少的电梯比更多的电梯花费少,一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少,能选用电梯分别有快速,中速,慢速三种,请给管理者写一个方案,提出一些合理的建议来实现(如需用数据分析说明,可设选用电梯的最大速度分别是243.8 mmin,304
7、.8 mmin,365.8mmin)。二 问题分析该问题是一个非线性优化问题,对问题的处理不仅要满足电梯乘客的等待时间,而且需要考虑每组电梯的均衡性,另外对于电梯重新改造的解决,需要考虑电梯的规格以及使用安装成本,最终选择最优的方案。针对问题一:需要对电梯进行分组,并且对电梯不同的分组分配相应的楼层,目标是电梯分组的均衡性达到最优,并且电梯乘客的等待时间最短。电梯的个数和电梯的规格在问题一中是给定的,因此我们需要考虑的是如何分组效果最好,如何安排电梯服务的楼层使得结果最优,通过这两方面的安排,最终得出最优化方案。针对问题二:由于电梯数是未知的,电梯的规格是不定的,电梯的分组未给出,我们需要做的
8、是在问题一的基础上对问题二进行分析,综合这几个方面的因素,建立可优化的模型,求出最优化的电梯改造方案。三 模型假设1. 假设电梯每次都是满载19人2. 假设电梯运行中不会出现故障3. 假设电梯在所服务的楼层上班时间运行时只往楼上运送人员,电梯下降时完全是空载4. 假设电梯在服务楼层每次上升无论是否能空载都要至服务楼层的最高层5. 假设电梯的开关门平均用时是3秒6. 假设每个乘客的一次出进楼梯平均总用时为1.3秒7. 假设对于电梯内的乘客在每层下楼的概率是相同的8. 假设楼内的人员在上班时间内均匀地进入乘梯口的9. 假设楼内人员都是做电梯的四 符号约定1. 表示电梯所分的组数2. 表示电梯的最大
9、承载人数3. 乘梯人员的总人数4. 表示楼层的总数5. 分别表示每个乘客的进电梯和出电梯的平均用时6. 为电梯运行时的加速度 7. 表示第一层楼层的高度8电梯乘客的平均等待时间9. 表示第i组电梯服务楼层数,10. 表示第i组分配的电梯数11. 表示第i组电梯的每个电梯运行一周所用的时间12. 表示第二层开始每层楼的高度13. 表示电梯开关门所用时间14. 表示电梯的最大运行速度15. 表示第i组电梯所服务的最低层()16. S 表示电梯向上运行时实际停靠的站数(S为随机变量)五 模型的建立与求解5.1. 问题一的模型建立5.1.1 电梯运动方程的建立:电梯的运行针对本题来讲,有两种情况需要考
10、虑:1. 电梯的运行距离较短,没有加速到最大速度是就要减速。2. 电梯的运行距离较长,加速到最大速度是仍然以最大速运行一段后才减速至停。下面是关于电梯在这两种情况下运行的速度-时间图示:由运动学的知识我们知道,对于图示一中的情况,运动方程是:可得 可得到在图示一的情况下运行时间为对于图示二中的情况,运动方程是:可得到早图示二情况下的运行时间为:综合以上各式可得:5.1.2 对电梯问题的优化处理因为时间的长短能反映出一个过程的效率,用乘客的平均等待时间的最大值作为两个衡量标准之一,用各个电梯的均衡性(安排两部电梯运行周期尽可能接近)作为另一个衡量标准。5.2.1 目标函数的建立 衡量标准Q是每层
11、等待时间的最大值,即每部电梯运行周期的加权平均值。首先我们需要求出电梯的运行周期,在运用加权的方法来求出Q。5.2.1.1 电梯运行周期的确定 由于电梯始终上下往复运动,因此电梯的运行过程可用其运行一周的时间来表示,将电梯运行一周所用的时间称为电梯的运行周期。电梯的运行周期应包含以下四个阶段:(1)从底层直达服务层的第一站所用的时间为:(2)电梯服务的第一站到最后一站的运行时间:(3)电梯在运行时到达最高层后直接到达一楼所用的时间:(4)乘客上下电梯以及开关电梯门和其他损失的时间在对问题的分析过程中,由于每个乘客在每层下楼的概率是相同的,为对于电梯上的个乘客,在第i层都不下的概率为:所以至少有
12、一个在第i层下楼的概率是所以可得电梯实际停的站数的数学期望是综合以上各式我们可以得到电梯的运行周期为:5.1.3 对乘客的平均等待时间的最大值Q的确定:衡量标准Q等于每台电梯运行周期的加权平均值,根据以上分析可得:综上我们可确立优化的目标函数为:其中: 5.1.4 约束条件的建立(1)楼层的约束:(2)乘客最大等待时间的约束:(3) 效率的约束:5.2 问题一的解决5.2.1 数据分析我们对问题一考虑了多种电梯分组情况,根据我们所得的模型我们分别求出了关于乘梯人员的最短等待时间以及各组电梯的服务楼层。具体的数据及模型的求解如下表所示:数据表格(一)电梯分为2组:组分组电梯个数服务楼层速度m/m
13、in运行周期时间间隔运载能力5min第一种情况1224304.852.826.45.2%24530304.8121.130.3第二种情况13216304.892.830.93.8%231730304.8113.337.8第三种情况14229304.8120.430.13.8%2230304.887.743.9数据表格(二)电梯分为3组的数据:组分组电梯个数(台)服务楼层速度m/min运行周期时间间隔运载能力5min第一种情况112304.844.04410.1%213304.846.346.334430304.8122.830.9第二种情况112304.844.0448.8%2236304.8
14、66.733.433730304.8120.040第三种情况112304.844448.0%23326304.8114.538.2322730304.896.048第四种情况1227304.864.832.48.1%218304.854.654.633930304.8120.040第五种情况12211304.878.839.46.2%221221304.894.947.5322230304.8107.053.5数据表格(三)电梯分为4组:分组电梯台数数(台)服务楼层运行周期时间间隔运载能力5min第1种优化结果112348.548.511.3%214552.452.43261894.447.2
15、421930115.057.55.2.2 最优方案选取对以上分组结果的数据表格进行分析,得到各种分组下的最优化方案具体如下表所示:方案编号分组号电梯台数服务楼层运行周期时间间隔运载能力5minA122452.826.45.2%24530121.130.3B11244.044.010.1%21346.346.334430122.830.9C1221178.839.46.2%22122194.947.5322230107.053.5D112348.548.511.3%214552.452.43261894.447.2421930115.057.5数据结果分析:如果仅仅只是对等待时间最短的方案进行考
16、虑,那么可以考虑的是方案B和方案D,即把电梯分为三组,第一组1台电梯服务第2层,第二组1台电梯服务第3层,剩余4台电梯服务430层和把电梯分为四组,第1组1台服务23层,第2组1台服务45,第3组2台服务618层,第4组2台服务1930层。如果考虑到实际情况,电梯分组数目必须是偶数的话,那么可以考虑的是方案A和方案C,分别是分为2组,第一组2台电梯服务24层,第二组4台电梯,530层和均分为3组,服务于211层,1221层,2230层。处于对实际的考虑,我们选择方案A和方案C。5.3 问题二模型的建立由于对电梯的重新安排布置,不仅需要符合问题一中条件要求,而且还要考虑电梯的安装成本以及使用成本
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