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浅谈函数在数列中的应用
阜阳市城郊中学 李雷
　 数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1,2,3,…,n｝上的特殊函数, 当自变量由小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值;数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式;数列的图像是横坐标为正整数的一系列的离散的点，可见,任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义,具有函数的一些固有特征。另外,数列与函数的综合也是当今高考命题的重点与热点,因此我们在解决数列问题时,应充分利用函数有关知识,以它的概念、图象、性质为纽带,架起函数与数列间的桥梁,揭示它们间的内在联系,从而有效地分解数列问题。
【摘要】数列是高中数学的重点内容之一，它既能培养学生逻辑思维、抽象思维、归纳思维等能力，也能起到承前启后的作用，在学习了函数之后学习数列，有助学生用函数的观点去认识它的本质，也有利于学生对函数概念的理解。
【关键词】函数 、数列

在高中数学教学中，如果能把各个知识版块相互交叉、渗透，往往会让人耳目一新，不但会加深对知识的理解，而且会提高解题的速度。函数与数列就是其中之一，可以从两个角度对数列给出了定义，一是描述性定义：数列是按照一定顺序排列着的一列数，二是函数性定义：数列是一类定义在整数集或它的有限子集上的一种特殊函数，由此可见，任何数列问题都具有函数的性质以及函数的一些固有特征。因此，在教学中，教师要引导学生充分利用函数的概念、图象、性质去揭示它们之间的内在联系，从而达到更有效、更快捷地解决数列的问题。另外，数列与函数的综合问题也是当今高考命题的重点与热点，本文从几个例子给出了函数知识在数列中的应用。
数列的通项公式及其前n项和公式的作用在于反映an及Sn与n之间的函数关系式。等差数列和等比数列式两类特殊的数列,它们的特殊性在通项公式和前n项和公式的结构特征中有充分体现,同时在两公式的相互关联上也有所反映。
1、一次函数的性质在数列中的应用
在等差数列的通项公式教学中，教师主要是引导学生如何使用常规的方法（通项公式法）求数列一些有关的量，此外，由于等差数列｛an｝的通项公式为 an=a1+(n-1)d，an可以看做n的一次函数（特殊地，d=0为常数函数），它的图象是一次函数上离散点，所有表示（n，an）的点都在同一直线上。
例如：已知数列{an}，“对任意n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝3x＋2上”是“{an}成等差数列”的(　　)
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
解析　对任意n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝3x＋2上，即an＝3n＋2，所以{an}成等差数列，反之，{an}成等差数列，虽然必有对任意n∈N*，点Pn(n，an)都在直线上，但满足直线y＝3x＋2上的点不一定都是(n，an)，故选A.
2、利用变化等差数列的前n项和公式为一次函数解题
等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋是关于n的二次函数，且是关于n的一次函数，因此，可以利用一次函数y＝kx＋b的性质研究有关等差数列的前n项和的问题．
例如：已知项数为奇数的等差数列奇数项的和为44，偶数项的和为33，求这个数列的项数及中间项．
解析：设这个数列共有2n＋1项且n为偶数，由于f(n)＝是关于n的一次函数，则点，，共线．由斜率相等得＝⇒n＝3.所以该数列共有7项，中间项为11.
3、二次函数的性质在数列中的应用
等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋是关于n的二次函数．因此，可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c解决等差数列与Sn最值相关问题．
例如：已知数列{an}的前n项和，求数列{an}的最大和Sn。
解析：由数列的求和公式可以看出：是以为自变量的二次函数，其图像开口向下，存在最大值，对称轴为n=6,所以Sn的前六项和最大，Sn=36。
4、解答数列的增减性问题
对于数列{an}，若an＋1>an对于任意的正整数n都成立，则数列{an}成为递增数列；若an＋1<an对于任意的正整数n都成立，则数列{an}成为递减数列；若an＋1＝an对于任意的正整数n都成立，则数列{an}成为常数数列．这一定义，类似于函数单调性的概念，但又有所区别，我们可以利用函数思想探求数列的单调性．
例如：判断数列{an}的增减性，其中an＝1－
解析 考察函数f(x)＝1－ (n∈R＋)的单调性可知它是增函数，所以数列an＝1－是递增数列．本题可以由数列单调性定义比较an＋1与an的大小去解题，可以利用数列的函数特征转化为函数单调性去解决．本题用第二种思路解之．
4.. 利用反比例函数平移后的单调性解题

例如：已知则在数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别是 (　　)
A．a1，a30 B．a1，a9
C．a10，a9 D．a10，a30

解析：将分离常数得：

如图，类比反比例函数图像，可知a9最小，a10最大。
解析：数列的通项公式就是一个函数表达式，求数列的最大项和最小项需要分析数列的函数性质，找准单调区间，或画出图象观察最高点和最低点．求数列的最大项或最小项时，通常有两种方法：一是考查数列的单调性；二是作出数列的点列图形，找最高点和最低点．
在用函数性质解数列问题时，除了利用上述的性质外，还可以利用函数的周期性，包括用导函数来解决数列的增减性，求最值。只要我们在解数列问题时，仔细审题，找出题目与函数之间的关系，加上熟练地运用函数性质，就可以在解决数列客观题和主观题时游刃有余，同时也对进一步理解函数性质和熟练运用函数性质提供很好的帮助。