2020-超常数学竞赛-8年级-复赛-真题.doc

考试说明
2020 年超常（数学）思维与创新能力测评
（初中二年级 复赛）
考试时间：15:00～16:30 满分：120分

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（1） 本试卷包括12道填空题、5道解答题。
（2） 填空题答案不完整则不得分，解答题按评分标准酌情给分。
（3） 需在答题卡上作答，写在试题卷上不得分。

一、填空题（每小题 5 分，共 60 分）
1. 计算：(1 − 1 ) (1 − 1 ) ⋯ (1 − 1 ) (1 − 1 ) = .

22 32
92 102

2. 如下图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD = ∠BCD = 90°，AC = 6cm，则四边形 ABCD 的面积等于 cm2.

第 2 题图 第 5 题图

3. 不等式组𝑘 < 𝑥𝑘 < 𝑘 + 1(𝑘 = 1，2，3， ⋯ ，𝑛)，即

1 < 𝑥 < 2
2 < 𝑥2 < 3
3 < 𝑥3 < 4
4 < 𝑥4 < 5

⋮
有解. 则自然数𝑛的最大值为 .

4. 已知𝑝，𝑞均为素数，且满足5𝑝2 + 3𝑞 = 59，则以𝑝 + 3，1 − 𝑝 + 𝑞，2𝑝 + 𝑞 − 4为边长的三角形是 三角形.
5. 如图， 由四条半圆弧构成一图形. 若PR = 12 ， QS = 6 ， 则所围出的面积为

.

20202 1

6. 计算：√1 + 20202 +

2021
2 − 2021 = .

7. 2𝑥2 − 𝑥 − 36为某素数的平方，则所有的整数𝑥之和为 .
8. 从中午到午夜（但不包含午夜），时钟的秒针平分时针和分针之间两个夹角之一（其中有一个大于或等于180°） 次.
9. 对于给定的两个整数 A 与 B，小梅、小松、小竹、小桂做了以下发言.
小梅：“A 与 B 的和为 12.” 小松：“A 与 B 的积为 48.” 小竹：“A 不超过 B 的 2 倍.”小桂：“A 大于 6，B 小于 6.”
已知 4 人中有 3 人说实话，1 人说谎话，则说谎话的人是 .

𝑎
10. 已知𝑎是自然数，且20000 < 𝑎 < 30000，𝑎的各位数字之和是 A，则
𝐴
.

的最小值为

11. 给定一正方形，其边长等于𝑎，正方形两组相对的顶点是两个全等菱形的顶点. 如果每个菱形的面积等于正方形面积的一半，则两菱形公共部分的面积为 .
第 11 题图
12. 对于两个实数𝑥，𝑦，定义运算“∗”，使得𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑝𝑥𝑦 + 𝑞𝑥 + 𝑟𝑦(𝑝，𝑞，𝑟是常数).

对于任意的实数𝑥 ， 存在实数𝑒使𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥 ，又1 ∗ 2 = 5 ， 2 ∗ 3 = 4 ， 这时𝑝 + 𝑞 + 𝑟 +
𝑒 = .

𝑥
+
𝑥
+
𝑥 + 1
二、解答题（每小题 12 分，共 60 分）

，求
13. 已知𝑥 = 1

3 3 5 2 5


的值.

√2+1 4 2 4

14. 设 A，B，C，D，E 五人参加一场考试，试题是十道判断题，正确判断得 1 分，错误判断反扣 1 分，不答不得分. 若五个人的答案如下表所示:

已知 A，B，C，D，E 的得分分别是 5，−1，3，0，4，请找出正确答案是√的题号.

15. 两个正三角形叠放成一个六角星（如图），现将前 12 个正整数 1，2，…，12 分别填于图中的 12 个结点处，使得每条直线上所填的四个数之和相等. 求六角星的六个顶点

𝐴1，𝐴2， ⋯ ，𝐴6处填数之和的最小值.

第 15 题图

16. 如图，在△ 𝐴𝐵𝐶中，阴影部分是由各边四等分点联结形成，面积为 2015，那么△
𝐴𝐵𝐶的面积是多少？

第 16 题图

2

17. 我们知道，每副扑克牌都是 54 张，假定其排列顺序为：头两张是大王、小王，然后是黑桃、红桃、梅花、方块四种花色，每种花色的牌又按 A、2、3、⋯、J、Q、K 顺序排列. 某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，用一张没有花色和点数的“备用牌”插在中间. 然后先把第一、二张丢掉，把第三张放到最下面；再把第四、五张丢掉，把第六张放到最下面；⋯ ⋯；即每次连续丢掉两张，只放一张下去. 问：最后丢出去的是哪张牌？请说明理由.