2013黄冈市三月调考数学(理)试题及答案.doc

黄冈市2013年高三年级3月份质量检测
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题　共50分）
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．复平面内，复数，则复数的共轭复数对应的点的象限
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是
A．—3 B．—2　　　 C．—1　　　D.0

3．如图2所示的韦恩图中，A、B是两非零集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，则为
　　　A.　　　　　　　　B.　
C.　　　　　D.
4．若设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是
　　　A.若则　　　B.若则
　　　C.若则　　　　D.若则
5．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为
　　　A.　　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
6．有以下命题：①命题“”的否定是：“”；
②已知随机变量服从正态分布，则；
③函数的零点在区间内；其中正确的命题的个数为
　　　A.3个　　　　B.2个　　　C.1个　　　D.0个
7．已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，B为轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在轴上的投影为，则的值为
A. B. C. D.
8．已知O为坐标原点，双曲线的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若，则双曲线的离心率为
A.2 B.3 C. D.
9．等差数列前项和为，已知 则
A. B.
C. D.
10．已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且若则
A． B.　　　　C.　　　D.不能确定
第Ⅱ卷（非选择题　共100分）
二、 填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题。每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（一） 必考题（11－14题）
11．某校共有学生1000名，其中高一年级有380人，高二年级男生有180人，已知在全校学生中制抽取1名，抽到高二年级的女生的概率为0.19，现采取分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在高三年级抽取的人数是　　　　　.
12．已知则展开式中的常数项为　　　　　.
13．设P是不等式组　表示的平面区域内的任意一点，向量，，若（为实数），则的最大值为　　　　。
14．已知椭圆是椭圆上两点，有下列三个不等式①②③.其中不等式恒成立的序号是　　　　　　.（填所有正确命题的序号）
（二） 选考题（请考生在第15、16题两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题结果计分）
15．（几何证明选讲）已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，若AB＝AC，则　　　　　　　.　　　　　　　　　
16．（坐标系与参数方程）曲线C1的极坐标方程为曲线C2的参数方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则曲线C1上的点与曲线C2上的点最近的距离为　　　　　　.
三、 解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.X k b 1 . c o m
17．（本小题满分12分）已知向量记.
　　（Ⅰ）若，求的值；
　　（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是、、，且满足，若，试判断△ABC的形状.w w w .x k b 1.c o m

w w w .x k b 1.c o m

18．（本小题满分12分）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足.
　　（Ⅰ）求数列的通项公式；
　　（Ⅱ）令，记数列的前项和为，对于任意的，不等式恒成立，求实数的最小值.

19．（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.
　（Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.
　（Ⅱ）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.
　（Ⅲ）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的期望.

20．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.

　（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；
　（Ⅱ）设为直线C1N与平面CNB1所成的角，求的值；
（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1，并求的值.
21．（本小题满分13分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是(-1,0)，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是A、B.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若在椭圆上的点处的切线方程是.求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标；
(Ⅲ)是否存在实数使得恒成立？(点C为直线AB恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分14分）设.
(Ⅰ)若对一切恒成立，求的最大值.
（Ⅱ）设，且是曲线上任意两点，若对任意的，直线AB的斜率恒大于常数，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：.

黄冈市2013年高三质量检测数学试题答案（理科）
一、选择题 ABDCB AACBA
二、11. 25 12. -160 13. 5 14. ①②③ 15. 16.
17. 解： ……2分
（I） 由已知得，于是，
∴ ……6分
（Ⅱ） 根据正弦定理知：
......8分

∵ ……10分
∴ 或或 而，
所以，因此ABC为等边三角形.……………12分
18 （I）解：设等差数列的公差为d，则依题设d >0
由a2+a7＝16.得 ①
由得 ②
由①得将其代入②得.即
……6分
（Ⅱ）由（I）得
=
=1-<1
恒成立
m的最小值为100 ……12分
19.（1）甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率为 ……3分
（2）乙小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其中各种可能的情况种数,
因此所求的概率= …7分
（3）由题意的取值为0,1,2,3,4

+

…10分

故的分布列为

0
1
2
3
4
P

…12分
20. 解：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， ∴BA，BC，BB1两两垂直。 ……………2分
以BA，BC，BB1分别为轴建立空间直角坐标系，则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）∵=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0=（4,4,0）·（0,0,4）=0 ∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N； ………… 4分
（II）设为平面的一个法向量，
则
则 ………………8分
（III）∵M（2,0,0）.设P(0,0,a)为BC上一点,则, ∵MP//平面CNB1,
∴
又……6分,
∴当PB=1时MP//平面CNB1 ……12分（用几何法参照酙情给分。）
21.解：（I）设椭圆方程为的焦点是，故，又，所以，所以所求的椭圆方程为. ………………………4分
（II）设切点坐标为,,直线上一点M的坐标，则切线方程分别为，，又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，故直线AB的方程是，显然直线恒过点（1,0），故直线AB恒过定点.…………………………………9分
（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得
，即，
所以，不妨设，新-课 -标-第-一-网
，同理，…………12分
所以
，
即，
故存在实数，使得. ……………………………13分
22.解：（Ⅰ）∵f（x）=ex-a（x+1），
∴f′（x）=ex-a， ……1分
∵a＞0，f′（x）=ex-a=0的解为x=lna．
∴f（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna， ……3分
∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，∴alna≤0，∴amax=1． ……4分
（II）设是任意的两实数，且 X k B 1 . c o m
，故 ……6分
不妨令函数，则上单调递增，
……7分
，恒成立
=
故 ……9分
（III）由（1） 知ex≥x+1，取x=,得1- 即 ……12分
累加得(
故存在正整数a=2．使得 ……14分

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