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极端原理与无穷递降法
一、最小数原理、极端原理、极端原则
最小数原理：自然数集组成的非空子集中，一定有一个最小数
极端原理：有限个实数组成的非空集合中，一定有一个最大数，也一定有一个最小数
极端原则：要从某堆东西中找出某件东西，如果能根据这些东西的某种特征让它们排成一行，使得那件东西或者排在第一个或者排在最后一个，从而把它找出来，这种方法称为极端原则
例1、（1）在平面上有个不全共线的点，试证：一定存在一条直线恰好经过这个点中的两个点
（2）给定空间中个不共面的点，试证：必存在一个恰好经过三个给定点的圆

例2、（1）平面上有个点，任意三点不共线，证明：可以以这个点为顶点连成一个边不自相交的简单边形
（2）平面上有个点，任意三点不共线，其中有个红点与个蓝点，证明：可以把这个点连成条互不相交的线段，而且线段的两端不同色

例3、（1）平面上有个点，，或是红点或是蓝点，而且任意三个同色点不共线，证明：存在一个三个顶点同色的三角形，该三角形至少有一条边上不含另一种颜色的点
（2）空间中有个点，或是红点或是蓝点，而且任意四个同色点不共面，证明：存在一个四个顶点同色的四面体，该四面体至少有一侧面不含另一种颜色的点

例4、在一个环形公路上有个汽车站，每一站都存有若干汽油，个站的总存油量可供一辆汽车在环形公路行驶一圈，现有一辆原来没有汽油的汽车，要在环形公路上按规定的方向跑一圈，它从某一站出发，带上这个站的全部存油，如果能走到下一站，又把该站的存油全部带上，证明：必有一个站，汽车从该站出发，可以环行一周而不会因为缺油而中途停车

例5、有个人围坐在一张圆桌旁，每个人在席中至少有个朋友，证明：可以适当安排他们的座位，使得任意两个相邻的人是朋友

例6、在某次舞会上，每一个男孩都未能与所有的女孩跳过舞，而每一个女孩都至少与某一男孩跳过舞，证明：舞会上有这样的两个男孩与两个女孩，他们可以结成两对，同一对的男孩与女孩跳过舞，不在同一对的男孩与女孩没有一起跳过舞

例7、证明：（1）任何一场循环赛中必有冠军；
（2）如果循环赛中的冠军只有一位，则他必是绝对冠军；
（3）任何一场循环赛都不可能恰好有两名冠军

例8、（1）在方格表上填写个数，每格填一个数，证明：总有相邻的两格，格中两数之差的绝对值不小于；
（2）在方格表上填写个数，每格填一个数，证明：总有相邻的两格，格中两数之差的绝对值不小于；
（3）在方格表上填写个数，每格填一个数，证明：总有相邻的两格，格中两数之差的绝对值不小于

例9、（1）平面上有五个点，其中任意三点不共线，求证：其中必有四个点能构成一个凸四边形；
（2）平面上有个点，，任意三点不共线，求证：其中必有个以给定点为顶点的凸四边形；（3）平面上有个点，，任意三点不共线，求证：其中必有一个以给定点为顶点的凸四边形，该四边形内部没有其他给定点

例10、名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然不完全相同

二、无穷递降法
例11、若干个球装在个袋子中，满足：如果任意取走一个袋子，总可以把余下的个袋子分成两组，每组各有个袋，且两组袋中的球的个数相等，证明：这个袋子中的球的个数都相等

例12、已知正整数，满足整除，证明是某一个正整数的平方。

三、排序原理
例13、（1）平面上有个点，任意三点不共线，任意四点不共圆，问：能不能通过其中某三个点作一个圆，使得其余个点一般在圆内，一半在此圆外？
（2）已知空间有个点，证明：可以过其中某个点做一平面使得该平面两侧均有个点
（3）平面上有个点，任意四点不共线，其中有个点涂成红色，有个点涂蓝色，证明：存在一条直线，它将平面分成两个部分，每个部分各有个红点与个蓝点

极端原理与无穷递降法
1、已知为非空整数集合，且对于的任意一个排列，若则（1）证明：中至少有两个集合相等；（2）这三个集合是否可能有两个集合无公共元素
2、设元集合的某些三元子集组成集合，且中每两个元素（子集）之间至多有个公共元素，证明：存在集合，使得，且中的任何元素都不是的子集
3、厦门一中级数学兴趣小组的名同学举行场乒乓球单打比赛，每人至少上场一次，求证：必有场比赛，其个参赛者各不相同
4、已知是实数，和均为正整数，令

求证：在中必存在两个数，使成立
5、求方程的整数解
6、在平面上有个不全共线的点，试证：一定存在一条直线恰好经过这个点中的两个点
7、某个星系的每一个星球上都有一位天文学家在观测最近的星球，若每两个星球间是距离都不相等，证明：当星球个数我奇数时一定有一个星球任何人都看不到
8、若干个儿童围成一圈，他们手中都拿有一些糖块，规定进行如下传递，每次的传递方法是：如果某人手中的糖块数是奇数，则他可再领取一块，然后每人都把手中的糖块的一半传给右边的小朋友，求证：一定可以经过若干次传递，使得所有儿童手中的糖块数都相同
9、在名选手参加的循环赛中，每两人比赛一场（无平局），试证下列两种情况恰有一种发生：
（1）可将所有选手分成两个非空集合和，使得中的任何一名选手都能战胜中的所有选手
（2）可将名选手从到编号，使得第名选手战胜第名选手，将理解为
10、平面上已给出个点，将连接每两点的线段的中点染成红色，证明至少有个红点，能否找到恰有个红点的点集？
11、在的方格中写上非负整数，如果在某一行和某一列的交汇处的数是，那么该行和该列上所填各数之和不小于，证明：表中所有数的和不小于
12、设，试证不能在的方格中填入数，使每行和每列数之和都是的幂
13、设是一个非空点集，它的所有点都是整点，此外还给定一组有无限多个有整数坐标的非零向量组，已知当将向量组中的所有向量的起点都放在中的任一点时，它们的终点属于的比不属于的多，证明：必为无穷点集
14、设，全部正因数记
（1）证明：；（2）确定所有的使得能整除
15、设，求证：存在满足
16、已知集合的元素都是整数，既有正整数又有负整数，且当时和也属于，求证：当时也属于
17、证明：方程不存在正整数解
18、已知三所学校中的每所都有名学生，且任何一名学生都认识其他两所学校的学生总数都是，求证：可以从每所学校各选一名学生，使得这三名学生彼此都认识
19、求所有的非空有限的正整数集，使得对任意有数
20、在平面上任给个点，其中任意三点不共线，并把其中个点染成红色，个点染成蓝色，求证：可以一红一蓝的把它们连成条线段，使这些线段互不相交
21、平面上有个点，其中任意三点不共线，且任意三点构成的三角形的面积都小于，证明：存在一个面积小于的三角形包含这个点
22、个足球队参加全国赛，问最少应进行多少场比赛才能使得任何个队中总有两个队彼此比赛过
23、设有个人，其中有些人互相认识。证明：可用适当方式把他们分成两组，使每人都至少有一半熟人不跟他在一组
24、平面上有若干个圆，它们所盖住的面积为，证明：一定可以从这些圆中去掉一部分圆，使得余下的圆互不相交且它们所覆盖的面积不小于
25、对正整数，是满足如下条件最大的整数：对每个正整数，都可写成个完全平方数的和。
（1）求证对每个有；（2）试找出一个整数使得；
（3）试证明有无穷多个整数使得。
26、已知正整数，满足整除，证明是某一个正整数的平方。
27、不定方程没有满足的整数解。
28、证明方程没有满足的整数解。
29、求证：边长为整数的直角三角形的面积不可能是完全平方数。
30、把颗花生分给只猴子，证明：不管怎么分，至少有只猴子得到的花生一样多，请设计一种分法，使得没有只猴子得一样多的花生
31、名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然不完全相同
32、已知且对，，试证明：
33、平面上有矩形的无穷集合，其中每个矩形的顶点坐标为，这里和均为正整数，求证：从这些矩形中可以选出两个来，使得一个包含在另一个之中
34、求证：在四面体中，必有某个顶点，从它出发的三条棱作为三边可以构成一个三角形
35、求方程的所有整数解
36、（1）设是平面上的一个有限点集（含点数），其中若干点染成红色，其余点染成蓝色，设任何三个及三个以上的同色点不共线，求证：存在三个顶点同色的三角形且这三角形至少有一条边上不包含另一颜色的点
（2）空间中有个点，或是红点，或是蓝点，而且任意四个同色点不共面，求证：存在四个顶点同色的四面体，这个四面体中有某一侧面不含另一颜色的点
37、某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。
38、设是一个有限集合，法则使的的每一个偶子集 (偶数个元素组成的子集)都对应一个实数，满足条件：（1）存在一个偶子集，使得；
（2）对于的任意两个不相交的偶子集，有。
求证：存在的子集，满足 （1）；
（2）对的任何非空偶子集，有 ；（3）对的任何偶子集，有。
39、在有限的实数列中，如果一段数的算术平均值大于那么我们把这段数叫做一条“龙”，并把叫做这条龙的“龙头”(如果某一项，那么单独这一项也叫龙)。假设以上的数列中至少存在一条龙，证明：这数列中全体可以作为龙弄的项的算术平均数也必定大于。
40、是的一个子集且中任意两个数的差不能是或，求的最大值
41、给定集合，其中为非零复数（可视为平面上非零向量）．
求证：可以把中元素分成若干子集，使得
（1）中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°．
42、是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数，求证如果对所有正整数都成立，则对每个都成立。
43、若干个人聚会，其中某些人彼此认识，已知如果某两人在聚会者中有相同数目的熟人，那么他们两没有共同的熟人，证明：如果聚会者中至少有个熟人，则必然也有人恰好有个熟人
44、凸四边形EFGH的顶点E,F,G,H分别在凸四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，满足，而点A,B,C,D分别在凸四边形E1F1G1H1的边E1F1, F1G1, G1H1, H1E1上，满足E1F1∥EF，F1G1∥FG，G1H1∥GH，H1E1∥HE．已知，求的值
45、求最大的正整数，使得对于由到的全部正整数的任一个排列，其中都有个位置相邻的数，其和不小于
46、一张圆桌，两人轮流往上放大小相等的硬币，只许平放，不许重叠，谁在桌上放下最后一枚硬币谁就是胜利者，是先放者胜还是后放者胜？有没有一种必胜策略？
47、一次名选手参加的循环赛中无平局，胜者得分，负者得分，证明：各选手得分的平方和不超过
48、某班共有名学生，每一名学生在班内都有同样多的朋友，试问：比自己大多数朋友成绩都要好的学生最多可能有多少名（假定该班任何两名学生的成绩都可以比出谁好谁差）
49、设集合，求一个包含元素最多的集合的子集使得中任意三个元素，，都有
50、在平面上有个点，它们的两两距离之中一共只有不超过种不同的距离，求证：
51、一次名选手参加的循环赛中无平局，胜者得分，负者得分，若任意四个人之间进行的比赛中至少有两个人积分相同，求的最大值
52、