欧拉的遗产问题是大数学家欧拉的数学名著.doc

数学名题
欧拉的遗产问题
有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一……按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多。问：这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下了多少财产？
1.设这位父亲共有n个儿子，最后一个儿子为第n个儿子，则倒数第二个就是第（n—l）个儿子。通过分析可知：
第一个儿子分得的财产＝100×1＋剩余财产的十分之一；第二个儿子分得的财产＝100×2＋剩余财产的十分之一；第三个儿子分得的财产＝100×3＋剩余财产的十分之一 ；第（n－1）个儿子分得的财产＝100×（n－1）＋剩余财产的十分之一；第n个儿子分得的财产为100n。
因为每个儿子所分得的财产数相等，即100×（n－1）＋剩余财产的十分之一＝100n，所以剩余财产的十分之一就是100n－100×（n－1）＝100克朗。
那么，剩余的财产就为100÷十分之一＝1000克朗，最后一个儿子分得：1000－100＝900克朗。从而得出，这位父亲有（900÷l00）＝9个儿子，共留下财产900×9＝8100克朗。
2.设每个儿子分得x元，遗产共y元，则：
老大分得x=100+（y-100）/10老二分得x=200+（y-x-200）/10老三分得x=300+（y-2x-300）/10
从式子上看，老大分得的遗产与老二分得的遗产的差，老二分得的遗产与老三分得的遗产的差……都是（x+100）/10 —100依题意，这个差为0，于是有（x+100）/10 —100=0 x=900从而可得y=8100，显然老人有9个儿子

欧拉的法码问题
一次，一位商人向欧拉提出了一个有趣的问题：如果只允许砝码放在天平的一端，要能称出1～63克任何整数克重的物品，至少要用多少个砝码？而如果允许砝码放在天平的两端（放在两端相当于可以做加减法，而放在一端则只能做加法），要称出1～121克之间任何整数克重的物品，至少需要多少个砝码呢？
 砝码只能放在一端,至少需要6个砝码，分别为：1克、2克、4克、8克、16克和32克；在这种情况下：
1=1；2=2；3=1+2；4=4；5=4+1；6=2+4；7=1+2+4；8=8；...；63=1+2+4+8+16+32
 总之，从1—63中的所有自然数，都可以用1、2、4、8、16和32，适当选择这6个数的一些数，通过加法而得到。
 砝码可以放在两端，则至少需要5个砝码：1克、3克、9克、27克和81克。如下：
1=1；2=3-1；3=3；4=1+3；5=9-3-1；6=9-3；7=9-3+1；8=9-1；9=9；10=9+1；11=9+3-1；...；121=1+3+9+27+81；
总之，从1—121中的所有自然数，都可以用1、3、9、27和81，适当选择这5个数的一些数，通过加减法而得到。

图示来说明一下哥尼斯堡七桥问题。
D
AC
B
A
1
2
3
4
5
6
7

大家可以比量一下，二者是否完全一样。背景是这样的:
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连接，河中两支流间的陆地D与 A、B、C各有一座桥相连接。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出答 案，但是谁也解决不了这个问题。七桥问题引起了当时著名的数学家欧拉的关注，他把具体七桥布局画为简单图形，于是七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），最后返回起点？”
在左孝凌等编著的《离散数学》里，定义7-4-1是这样说的：
给定无孤立结点图G，若存在一条路，经过图中每边一次且仅一次，该条路称作欧拉路；若存在一条回路，经过图中每边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路。
定理7-4.1是这样说的：无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或两个奇数度结点。
欧拉的“农妇和鸡蛋”问题：
一天，两个卖鸡蛋的农妇遇见了欧拉。当欧拉问及她俩今天的收获时，她们想为难一下这位其貌不扬的学者，两人答道：“我们一共带来100只鸡蛋，虽然我们的售价不同，鸡蛋个数也不同，但我们所得的钱一样多。”
第一个农妇说：“假若我有像她那么多的鸡蛋，我可以卖15个克鲁索（克鲁索是一种货币单位）。”第二个农妇说：“假若我有像她那么多的鸡蛋，我能卖六又三分之二个克鲁索。”
两个农妇齐声问道：“我们各自带来多少鸡蛋？”下面时欧拉提供的一种解法。
 假设第二个农妇的鸡蛋数目是第一个农妇的 m 倍。因为最后两个人赚得的钱一样多，所以，第一个农妇出售鸡蛋的价格必须是第二个农妇的 m 倍。（第一个农妇的数目看作1，第一个农妇的售价为价1，第二个农妇的数目为1×m，第二个农妇的售价为价2，价1=价2×m）
如果在出售之前，两个农妇已将所带的鸡蛋互换，那么，第一个农妇带有的鸡蛋数目和出售鸡蛋的价格，都将是第二个农妇的 m 倍。也就是说，她赚得的钱数将是第二个农妇的m×m倍。就有m×m×价2=15 ，价2×1=6又3分之2代入上式，舍去负值后得 m=3/2 ，即两人所带鸡蛋数目之比为 3 ∶ 2 。这样，由鸡蛋总数是 100 ，就不难算出第一个农妇带了40个，第二个农妇带了60个。
历史上，像这样由对话形式给出等量关系的题目并不少见。例如公元前 3 世纪时，古希腊数学家欧几里得曾编了一道驴和骡对话的习题：　“驴和骡驮着货物并排走在路上，驴不住地抱怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你更重。如果你拖的货物给我 1 口袋，我驮的货物就比你重1倍；而我若给你 1 口袋，咱俩才刚好一般多。'问驴和骡各驮了几口袋货物？”
12 世纪时，印度数学家婆什迦罗也曾编了一道相似的习题：“人对一个朋友说：‘如果你给我 100 枚铜币，我将比你富有 2 倍。'朋友回答说：‘你只要给我 10 枚铜币，我就比你富有 6 倍。'问两人各有多少铜币？”
但是，“欧拉问题”却编出了新意。由于两种“如果”出的答数无倍数关系可言，使得题中蕴含的等量关系更加行踪难觅，解题途径与上述两题也不相同。
一个农妇去市场卖鸡蛋,第一卖去全部的一半又半个,第二次卖去剩下的一半又半个,第三次卖去前两次卖去后所剩下的一半又半个,最后又卖去所剩下的一半又半个,这时鸡蛋恰好相反卖完,部农妇原有鸡蛋多少个?欧拉给出 一个别具一格的解法。倒过来想卖蛋的过程，第三次卖完后所剩即第四次所卖数的鸡蛋至少为1个，第二次卖完后所剩即第三、四次所卖之和的鸡蛋为3个（一个半加一个半，后半个在第三次一同卖出），第一次卖完后所剩的鸡蛋数为7个，（3个半加3个半，后半个在第二次一同卖出），所以原有鸡蛋为15个。
1．小明，小华和小强在一个班，他们一位是班长，一位是学习委员，一位是文体委员。现在知道：小明比学习委员年龄大，小强和班长不同岁，班长比小华年龄小。请问：三人中谁是学习委员？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：小强。
２．有100名观众参加晚会，他们的座号从1到100。晚会结束时，主持人说：“今天，我们要选出一位幸运观众，下面，我们先去掉奇数号码，然后把剩下的号码从小到大重新编号，再去掉奇数号码，如此反复，最后剩下的就是今天的幸运之星。”于是大家纷纷忙乎起来。小明想了想，说：“大家别忙了，我知道今天的幸运观众的座位号是64。
3．3点半，时针和分针的夹角是多少度？　B．75度　
4．“这道题我一定能答对”，这件事　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．有可能发生　　　　5．水池的底部不断有泉水涌出，要想把水抽干，用1台抽水机需要4小时，那么用2台抽水机需要2小时，B．错　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6．有五只老猫分别隔1天、2天、3天、4天、5天到河边钓鱼。有一天它们都来了，那么以后每天都有老猫来钓鱼吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．不一定
7．明明说：“我8岁的时候妈妈36岁，今年妈妈的年龄是我的3倍，你知道我今年多少岁吗？”A．14　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9．水塘里的浮萍数量每天增长1倍，在第10天将充满整个水塘。那么，在第9天，浮萍覆盖了水面 A.50% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10．运动会在3月22日开幕，在4月6日闭幕，运动会共举行了多少天？ B．16天　

这些都是数学名题，小学奥数题目，有兴趣的来做做。答案在括号里
1.斯利哈拉是印度数学家。下面这道趣题就是有名的斯利哈拉问题：
有一群蜜蜂，其中1/5 落在杜鹃花上，1/3落在栀子花上，这两者差的3倍飞向月季花，最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和玉兰花之间飞来飞去，问共有几只蜜蜂？（15）
2.(度木问题）今有木不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？《孙子算经》6.5
3.（买牛问题）许多人家合买牛，如果煤七家共出190钱，还少330钱，如果每九家共出270钱，又多余30钱，问共有多少人家？牛价钱多少？《九章算术》
8.有3人买来24两油，装在一桶里，到商店买来3个玻璃器皿，一个能装5两，一个装11两，一个能装13两。怎样不借助其他器皿均分这24两油？《算学大成》

几个酒徒比酒量 你能算出人数吗？
一群酒徒聚在一起要比酒量。先上一瓶，各人平分。这酒真厉害，一瓶喝下来，当场就倒了几个。于是再来一瓶，在余下的人中平分，结果又有人倒下。现在能坚持的人虽已很少，但总要决出个雌雄来。于是又来一瓶，还是平分。这下总算有了结果，全倒了。只听见最后倒下的酒徒中有人咕哝道：“嗨，我正好喝了一瓶。

半个鸡蛋怎么卖？难倒你的买蛋人
一个买主来买鸡蛋，他提出一个奇怪的要求：我要你全部鸡蛋的一半，再加半个鸡蛋。莫不是开玩笑吧？熟鸡蛋也从未听说过买半个，何况是生鸡蛋。犹豫之间，看了看面前这堆鸡蛋，突然眼前一亮，三下五除二很快就按要求把鸡蛋付给了买主。这时，正等在旁边的另一个买主也提出了一个奇怪的要求：我买你剩下这些鸡蛋的一半，外加半个鸡蛋。这次立刻满足了他。过了一会儿，来了第三个买主，他也提出同样的要求，俺如数付给他以后，全部鸡蛋正好卖完了。”虫虫总共卖给三个人多少只鸡蛋，他们又各买了多少鸡蛋呢？