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比和比例单元知识要点
教学重点、难点：
重点：理解比以及正比例和反比例的意义，会从新的角度理解数量之间的关系；
难点：正确掌握正比例和反比例的意义，并能正确判断两种相关联的两成什么比例，同时能应用本单元所学的知识解决一些简单的实际问题。
容易忽视的教学目标：17页——5、6
（5）通过具体问题认识成正比例、反比例的量。能根据给出的有正比例关系的数据，再有坐标系的方格纸上画图，并根据其中的一个量的值估计另一个量的值。能找出生活中成正比例和反比例的量的实例，并进行交流。
（6）使学生经历从实际问题中抽象出数量关系的过程，会解答有关正比例、反比例的实际问题。能用方格纸等形式按一定的比例将简单的图形放大或缩小，体会图形的相似。

一、比：
讨论中，大家对果园里有10棵梨树，梨树是苹果数的5倍，求苹果树有多少棵？
10棵树与5倍之间到底存不存在这一种比的关系？
当时，大家有两种观点，我们没有马上得出结论，回来后我又仔细的看了教参中对于比的描述，使我更加坚信，这样一种观点是正确的，即，比是两种量比较的一种方法，它反映的是两种量之间的一种关系。这两种量是数量，他们之间是并列的关系，即是两种数量在比较，而且是相除关系的一种比较，这两种数量可以是同类量，也可以是不同类量，同类量之间存在这一种倍比关系，不同类量之间相除可以得到第三种量，这第三种量是有意义的。后问市里专家，范老师说，这一种说法是对的，又做了一句补充，即10棵树与5倍有比较的意义吗？没有，从这个意义上说，他也不是一种比。
教学比的时候应注意让学生理解：
1． 比是一个有序概念，颠倒两个数的位置就得到另一个比。
2． 在学习过程中，复习与比有关的数量关系。
路程与速度之间的比
路程与时间的比
总价与单价的比
总价与数量的比
3． 会联想
海星和章鱼的比是4：3
海星是4份、章鱼是3份，海星和章鱼合起来是7份
海星和章鱼的比是4：3也可以说成海星是章鱼的几倍？
海星与总数的比是：4：7也可以说成海星占总数的几分之几？
章鱼和海星的比是3：4也可以说成章鱼占海星的几分之几？
章鱼与总数的比是3：7也可以说成章鱼占总数的几分之几？

4．我们学习的比与足球比赛中的比是不一样的。
不管哪一种书写形式，比的后项能为0吗？（学生讨论回答后，教师订正时指出：足球赛中记录的“2: 0”的意义只表示某一队与另一队比赛各得的进球分数，不表示两队所得分数的倍比关系，这与今天学习数学中的比的意义不同，它虽然借用了比的写法，但它不是一个比。）
5．渗透知识之间的联系，总结、提升认识
（1）P36页1题第（2）问：
甲圆的半径是5厘米，乙圆的半径是4厘米。
甲圆半径与乙圆半径的比是：（ 5：4 ）
甲圆直径与乙圆直径的比是：（5：4 ）
甲圆周长与乙圆周长的比是：（ 5：4 ）
甲圆面积与乙圆面积的比是：（ 25：16 ）
你发现了什么？为什么？换形式颠倒问法？
甲乙两个正方形的边长比是2：3，甲乙两个正方形的周长比是（2：3 ），甲乙两个正方形的面积比是（4：9 ）
（2）完成一项任务，甲需要6小时，乙需要8小时
（1）写出甲、乙二人完成这项任务所需时间的比
（2）写出甲、乙二人完成这项任务工作效率的比
完成同一件工程，工作效率的比等于工作时间的反比
选择题：
（3）一个圆柱和一个圆锥，他们的底面积相等，它们高的比是3：1。它们体积的比是（ C ）
A .3：1 B .1：3 C.9：1
（4）符号化思想的渗透：
因为X=2Y，所以X：Y=（ 2 ）：（ 1  ）
（5）比与分数、除法之间的联系和区别
小麦的出粉率是85%，写出磨面粉的质量与所需小麦质量的比，沟通百分数与比的联系，培养学生思维的深刻性和灵活性。
35：（  28  ）=20÷16 = =（ 125 ）%=（ 1.25  ）（填小数）
（6）能用方格纸等形式按一定的比例将简单的图形放大或缩小，体会图形的相似。P6413、14题
逐步引导学生归纳出“图形按一定的比放大或缩小后，只是大小发生了变化，形状没变。”
（7）化简比与求比值之间的联系和区别
从意义上区分： 18：6化成最简单的整数比，即18：6=3：1
或18：6=3/1 ，求18：6的比值，即18：6=18÷6=3
从计算方法上区别：
化简比最常用的方法是比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）；求比值最常用的方法是前项除以后项。
从计算结果上区别：
化简比的结果是一个最简单的整数“比”；可以写成整数比也可以写成分数比；求比值的结果是一个数。
从读法上区分：
连比：把几个比化为连比的方法的方法：
（1）第一个比的后项正好等于第二个比的前项，可直接写出连比
若甲：乙=4：3 ，若乙：丙=3：5，则甲：乙：丙=4：3：5
（2）第一个比的后项不等于第二个比的前项时，可先求出这两项数的最小公倍数，再应用比的基本性质求出连比。如，已知a：b=3：4，
b：c=6：5，求a：b ：c 4和6的最小公倍数是12，a：b ：c=9：12：10
连比的“：”不能用“÷”代替，也就是说连比不等于连除。

二、按比分配
平均分实际上是一个1：1的分配方法，为了分配的更合理，往往把一个数量按照一定的“比”进行分配。
基本方法：
方法1 是把各部分的比看作各部分的份数，按总份数和总数量的关系进行思考，先求出每份数，再用每份数分别乘各部分的份数
2．是把部分的比转化为各部分分别占总数量的几分之几，然后按“求一个数的几分之几是多少”的问题，求出各部分的数量。
我们提倡用第二种方法，既能说明学生的抽象思维能力强，有时又能使列式计算简捷。P38
第一小队比第二小队多栽种多少棵？
54×（5/9-4/9）

1、 水果店运来苹果和梨共重270千克，苹果和梨重量的比
是3：2 。运来苹果和梨各多少千克？
2．建筑工地上的混凝土是用沙子、水泥和石子配制而成的。沙子、水泥、石子重量的比是3：2：5 。要配制10吨这样的混凝土，需要沙子、水泥、石子各多少吨？
3．六年级某班有一块长方形的墙报，长4米、宽3米，现在选登学生作文和美术作业，他们所占墙报面积的比是1：2，两种作业各占多少平方米？
一个长方形，周长10米，长与宽的比是3：2。求长、宽各是多少米？

4.P40 4、5、6
5.人的血液与体重的比是1：13 。（ ）体重，
（ ）千克，他的血液有多少千克？
6.甲、乙两个数的平均数是80，这两个数的比是7：9，这两个数分别是多少？
解决按比分配的问题是比与数量之间的一种对应关系。

比例尺是比的前项或后项是1的比
P48的试一试是新增加的内容，
例题2和P49的5题
比例尺解法的两种形式
例题2是单位相同的数量的比，21/x=1/7000000
P49的5题是相对应的关系的一种比3.6/x=1/50

正比例意义
一、 充分利用表格和图象
教学时，可以先出示坐标系说明如何描点连线画出正比例关系图像。再通过图下面的两个问题体会正比例图像的特点。

（1）用图像表示正比例关系。可以先出示例1的数据表和坐标系，说明正比例关系可以通过一个图像来表示。然后介绍坐标系横轴上和竖轴上的数据表示的含义，并结合例1数据表中的一对数据说明，表中的每一组数据都可以用一个点来表示。如，数量2支，总价10元这对数据，就可以用（2,10）表示，照此方法师生共同描出其余的点。并把描好的点连起来，形成一条直线，告诉学生这就是数量与总价的正比例关系图像。

（2）认识正比例关系图像。结合问题（1），使学生了解从这个图像可以直观看到数量与总价的变化情况，数量增加，总价也随着增大。通过问题（2），使学生知道：利用正比例关系图像，不用计算，可以由一个量的值，直接找到对应的另一个量的值。如，知道数量5，可以从图像上找到数量是7的点，再找这个点对应的竖轴上的数25。

二、 复习学过的数量关系，进行比较和区分
应用题中的数量关系、各种公式、各种运算
必须是相关联的两种量
必须是变化的两种量
相对应的两个数的比值（也就是商）一定或积一定
举例，隐含的数量关系
正方形的面积和边长
正方形的周长和边长
注意正、反比例应用题的教学，不要把反比例列成正比例的形式。
如，六年级（1）班的同学上体育课，如果排成2行，每行有16人。如果排成4行，每行有多少人？
根据，每行人数×行数=全班人数（一定）
可列：4X=16×2
复习教学建议

1．加强整理和复习的系统性。

我们知道，数学知识的特点之一就是具有严密的逻辑系统性。虽说在前面的学习过程中，每个单元、每个学期，都有整理和复习，但毕竟具有一定的局限性。本单元是在平时的基础上，在更大范围内引导学生对学过的知识进行更全面的回顾、整理和比较、对照。这样，原来分散学习时互不联系或联系较少的知识，就有机会得以沟通，进而形成纵横联系的知识体系。因此，加强整理和复习的系统性，使所学知识结构化，是本单元教学的首要任务。
 2．启发、引导学生自己整理知识。

如前所述，本单元教材所采取的精简篇幅，突出重点、要点的做法，为教师启发、引导学生自己整理知识创造了条件。复习时，应充分利用教材的留白，发挥学生参与知识整理的主动性和积极性。有时，学生的整理可能不够确切、不够全面，这都是真实的、自然的现象。教师在学生开动脑筋深有体会的基础上加以点拨，往往效果更好。不仅能加深学生印象，记得牢，还有助于培养和提高学生的学习能力。因为知识的整理和复习也是学习能力的重要组成部分之一。
本单元复习的内容涉及面广，而且又是逐年学习的，如果在课堂上进行逐项回忆，常常花费时间较多。因此，在课堂上复习各部分内容之前，可以布置学生先进行预习。课前预习可以让每一位学生都有较充足的思考时间，有利于提高学生复习的主动性，也有利于提高课堂复习的效率。

3．在系统整理复习的过程中注意查漏补缺。（弄清楚学生知识上的盲点，思维认识上的盲点）

在本单元的教学过程中，教师应根据前一阶段课堂教学、批改作业和课后辅导中了解到的情况，搞清学生还有哪些概念比较模糊，哪些方法不够熟练，哪些疑难尚未解决，在系统复习的过程中予以弥补。通过知识的再认、再现和质疑问难，以及必要的练习，使模糊的概念清晰起来，使生疏的技能熟练起来。可以说，所学知识与技能的巩固，是灵活应用与提高能力的基础，也是系统整理和复习的基本要求之一。
4． 加强练习的针对性、有效性。
本单元教材所提供的练习，是根据一般情况配备的，教师要善于从本班学生的实际情况出发，有针对性地对练习加以适当的调整和增补。同时注意因材施教，对不同情况的学生提出不同的练习要求，使各种程度的学生都能通过练习确有所获，并都能在原有的基础上有所提高。

5． 注意引导学生积累数学学习的经验，总结解决问题的策略。

本单元教材，基于复习整理解决问题的思路和方法，设计了一系列的例题，并配备了必要的练习。教学时，教师要善于就题论理、论思路，引导学生总结比较一般的解题策略，以促进学习的迁移和能力的提高。同时，教师还应该通过多种途径，如课内学生的发言、小组讨论、课后的作业批改、个别交谈等，了解学生的学习体会，发现他们的学习经验，在班上介绍或交流。经验表明，六年级的整理和复习阶段，是小学生形成、总结学习经验的有利时机，利用这个时机，帮助学生总结个人经验，分享他人经验，有利于学生的发展，也有利于提高本单元的教学成效。