非线性方程组数值解法.pptx

6 非线性方程组的迭代解法非线性方程组的迭代解法/*The Iterative Method for Systems of Nonlinear Equations*/n个方程的个方程的n元非线性方程组的一般形式：元非线性方程组的一般形式：其中其中 是定义在区域是定义在区域 上的上的n元实值函数，且元实值函数，且 中至少有一个是中至少有一个是非线性函数非线性函数。如如一一、非线性、非线性Jacobi迭代、迭代、Gauss-Seidel迭代和迭代和SOR迭代迭代类似于线性方程组的经典迭代法类似于线性方程组的经典迭代法,我们有：我们有：算法算法6.1（非线性（非线性Jacobi迭代迭代）for k=0,1,2,用非线性方程的解法器解用非线性方程的解法器解如果迭代停止条件满足，则中止循环并输出如果迭代停止条件满足，则中止循环并输出得出得出u。for k=0,1,2,用非线性方程的解法器解用非线性方程的解法器解如果迭代停止条件满足，则中止循环并输出如果迭代停止条件满足，则中止循环并输出 算法算法6.2（非线性（非线性Gauss-Seidel迭代迭代）得出得出u。for k=0,1,2,用非线性方程的解法器解用非线性方程的解法器解如果迭代停止条件满足，则中止循环并输出如果迭代停止条件满足，则中止循环并输出 算法算法6.3（非线性（非线性SOR迭代迭代）得出得出u。这三种方法一定条件下收敛，但一般较慢。这三种方法一定条件下收敛，但一般较慢。令：令：二、二、Newton迭代法及其改进算法迭代法及其改进算法 Newton迭代法的迭代格式迭代法的迭代格式利用多元函数的利用多元函数的Taylor展开公式得展开公式得其中其中称之为函数称之为函数 的的Jacobi矩阵矩阵称上述公式为称上述公式为Newton迭代格式。迭代格式。Newton迭代方法在实际迭代时，转化为求迭代方法在实际迭代时，转化为求方程组的解方程组的解每每迭代一次需要计算迭代一次需要计算Jacobi矩阵并求解方程组，故计矩阵并求解方程组，故计算量很大。拟算量很大。拟Newton方法就是对上述问题的改进。方法就是对上述问题的改进。解：解：例：例：用用Newton迭代法求解下列方程组迭代法求解下列方程组取取解方程组解方程组即即计算结果如下计算结果如下 要求要求 精度精度迭代迭代次数次数 0.001 2(1.0000 1.0000)0.0001 3(1.0000 1.0000)方程组的方程组的近似解近似解 Broyden秩秩1 1方法（拟方法（拟Newton方法中的一种）方法中的一种）利用多元函数的利用多元函数的Taylor展开公式得展开公式得写成矩阵形式写成矩阵形式下列关系式称之为拟下列关系式称之为拟Newton方程方程令令秩秩1矩阵矩阵待定向量待定向量代入拟代入拟Newton方程得方程得唯一确定唯一确定引理引理 6.1如果矩阵如果矩阵 非奇异，非奇异，如果如果 ，则，则 也可逆，且有也可逆，且有 的计算公式：的计算公式：Broyden秩秩1方法的迭代公式变为：方法的迭代公式变为：Broyden秩秩1算法算法选取初值选取初值For k=0,1,2,计算计算利用前式计算利用前式计算满足给定的精度要求，迭代终止。满足给定的精度要求，迭代终止。Broyden秩秩1算法算法选取初值选取初值For k=0,1,2,计算计算利用前式计算利用前式计算满足给定的精度要求，迭代终止。满足给定的精度要求，迭代终止。