解析几何（二）双曲线.doc

双 曲 线
一. 选择题
1．双曲线方程为，则它的右焦点坐标为
A、 B、 C、 D、
2．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
3．设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
A． B． C． D．3
4．已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
5．设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
6．设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，
那么此双曲线的离心率为
A． B． C． D．
7．已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则
A． 4 B．6 C．8 D．10
8．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是
A． B． C． D．
9．若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为
A． B． C． D．
10．已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两
点，若,则的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.
m A． B. C. D.
二．填空题
11．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的
焦点坐标为 ；渐近线方程为 ．
12．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为 .
13．知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点
在双曲线上.则·＝ .
14．双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 ．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
二．解答题:
16．已知双曲线的离心率为，右准线方程为。
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.

17．双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

18．设直线：（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

19．已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N，
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. w_w w. k#s5_u.c o*m

20．已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为
w.w.w（Ⅰ）k.求双曲线C的方程；
（Ⅱ）P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围. w_w

答案：一. CCBBC DACBA
二．11. () ； 12. ；13. 0； 14. ； 15.
三． 16．（Ⅰ）由题意，得，解得，
∴，∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，
由得（判别式）,
∴,
∵点在圆上，
∴，∴.
17．解：（Ⅰ）设，，
由勾股定理可得：
得：，，
由倍角公式，解得,则离心率．
（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立
将，代入，化简有

将数值代入，有,解得
故所求的双曲线方程为．
18．解：
由 消去化简整理得

当时，
设，则
由 消去化简整理得

当…………（2）
设，则
因为，所以，所以，
即，所以．
当时，由（1）和（2）得，因是整数，所以的值为：
；
当时，由（1）和（2）得，因是整数，所以．
于是，满足条件的直线共有9条．

19．解：(1)设P(x,y)，则，化简得x2－=1(y≠0)
(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)
与双曲线x2－=1联立消去y得w_w w. k#s5_u.c o*m
(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0
由题意知3－k2≠0且△＞0，设B(x1,y1),C(x2,y2)，
则
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝k2(＋4)＝w_w w. k#s5_u.c o*m

因为x1、x2≠－1
所以直线AB的方程为y＝(x＋1)
因此M点的坐标为()
,同理可得w_w w. k#s5_u.c o*m

因此
＝
＝0

②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)
AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为()，
同理可得
因此＝0w_w w. k#s5_u.c o*m

综上＝0，即FM⊥FN
故以线段MN为直径的圆经过点F
20．解法1由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，
所以所以
由
所以曲线的方程是
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为
设
由
将P点的坐标代入，化简得
因为
又
所以
记
可以证明在上递减，在上递增，
所以．
又S（1）=2，
当时，面积取到最小值，当时，面积取到最大值
所以面积范围是．