三角函数的图像和性质（教师版）.docx

三角函数的图像和性质

一、选择题
1.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
1.答案：D
解析：由题意，得，解得,即.
2.下列函数,在上是增函数的是( )
A. B. C. D.
2.答案：D
解析：因为,所以,所以在上为增函数.
3.用“五点法”作函数的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是( )
A. B.
C. D.
3.答案：D
解析：令和得.故选D.
4.的大致图象为( )
A. B.
C. D.
4.答案：B
解析：时, ,故选B.
5.下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.答案：A
解析：作出函数的图象,如图.由图象可知的周期为,在区间上单调递增.同理可得的周期为,在区间上单调递减,的周期为.不是周期函数,排除B,C,D.故选A.

6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.答案：A
解析：利用排除法,由函数的解析式可得,函数为奇函数,函数图象关于坐标原点对称,选项C,D错误;当时,,选项B错误,故选A.
7.函数图象的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
7.答案：C
解析：由题意得,,∴,∴函数图象的一条对称轴是直线.
8.已知函数,函数为定义在上的偶函数,且当时,,则方程的根的个数为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
8.答案：C
解析：方程的根的个数就是函数与的图象的交点个数.∵与均为偶函数,∴只需判断y轴右侧的交点个数即可.由,得,作出函数与的图象,如图所示,由图可知两个函数的图象的交点个数为5,同样在y轴左侧也有5个交点.故选C.

9.函数( )
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
9.答案：A
解析：因为的定义域为关于原点对称,又,所以函数为奇函数,故选A.
二、填空题
10.已知函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为,则的值为___________.
10.答案：0
解析：∵的图象的相邻两支截直线所得线段的长度即为的一个周期,∴,因此.
11.函数的定义域为___________.
11.答案：
解析：由得.所以,且.
12.若函数的定义域为R,最小正周期为,且满足,则_________.
12.答案：
解析：.
13.若函数的最大值为1,最小值为-7,则的最大值为_______，最小值为________.
13.答案：15,9
解析：当时,有,解得;当时,有,解得.所以,其最大值为15,最小值为-9.
14.若方程在上有解,则实数m的取值范围是_________.
14.答案：
解析：由正弦函数的图象,知当时,,要使方程在上有解,则,故.
三、解答题
15.方程在上有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.
15.答案：作出与的大致图象,如图所示.

由图象,可知当,即时,的图象与的图象有两个交点,即方程在上有两个不同的实数根,故实数a的取值范围为.
三角恒等变换

一、选择题
1.已知,,则 ( )
A. B. C. D.
1.答案：D
解析：∵,∴,∴,
∴
,故选D.
2.已知函数，则（ ）
A.的最小正周期为，最大值为3 B.的最小正周期为，最大值为4
C.的最小正周期为，最大值为3 D.的最小正周期为，最大值为4
2.答案：B
解析：易知，则的最小正周期为，当时，取得最大值，最大值为4.
3.已知,则( )
A. B. C. D.
3.答案：A
解析：由,两边平方得,所以,故选A.
4.函数在的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.答案：D
解析：∵, ∴为奇函数,排除A.
当时,,排除B,C故选D.
5.已知,且,则( )
A. B. C.3 D.-3
5.答案：A
解析：由得, ∵,∴,∴.
6.在中,若,则的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6.答案：D
解析：由已知得,
∴,∴或,
∴或,三角形为等腰三角形或直角三角形.
7.函数的值域是( )
A. B. C. D.
7.答案：B
解析：.
∵,∴.∴.
8.,且，则 ( )
A. B. C. D.
8.答案：D
解析：由已知，得，
∵，∴， ∴，∴，∴，
∴.
二、填空题
9.已知，则的值是____________.
9.答案：
解析： 由，得，
即，所以，
所以.
10.在中, ,则_____________.
10.答案：
解析：因为，且,所以,
所以,且,
所以,所以
.
11.若,且，则________________.
11.答案：
解析： 因为，所以，
所以.又，
所以，故.
12.在中，，,则___________________.
12.答案：
解析： 由题意，得,
解得，又,所以.
13.已知,且，则______________.
13.答案：
解析： ∵,∴,且.
又①，∴，
∴，∴，
∴②，联立①②，得，
∴.
三、解答题
14.已知函数.
(1)求的值;
(2)求函数的单调区间.
14.答案：
(1)因为
，
所以.
(2)由（1），知，
令, 解得，
所以函数的单调递增区间为，
令， 解得，
所以函数的单调递增区间为.
15.已知函数,.
(1)求的最小正周期和单调递增区间;
(2)若为的一个零点,求的值.
15.答案：(1)
,
∴的最小正周期为.由, 得.
∴的单调递增区间为.
(2)由，得
又由，得，∴，
∴
.

三角函数

一、选择题
1.函数的部分图象如图所示,则( )
A.
B.
C.
D.
1.答案：A
解析：由图易知,因为周期T满足,所以.
由时,可知,所以,
结合选项可知函数解析式为.
2.已知函数的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于直线对称 B.关于点对称
C.关于直线对称 D.关于点对称
2.答案：A
解析：依题意得.故.
所以，
.
故该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称.故选A.
3.函数的图象可看成是由的图象按下列哪种变换得到( )
A.横坐标不变,纵坐标变为原来的
B.纵坐标变为原来的3倍,横坐标变为原来的
C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍
D.纵坐标变为原来的.横坐标变为原来的3倍
3.答案：B
解析：将的图象横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的3倍,即可得函数的图象.
4.将函数的图象向右平移个最小正周期后,所得图象对应的函数为( )
A. B.
C. D.
4.答案：D
解析：函数的最小正周期为,将函数的图象向右平移个最小正周期,即个单位长度后,所得图象对应的函数为.故选D.
5.函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为( )

A. B.
C. D.
5.答案：B
解析：由图象得，所以.则，
将点代入得.又，所以，因此函数.
6.如图所示,函数的图象过点,则的图象的一个对称中心是( )

A. B.
C. D.
6.答案：B
解析：由函数图象可知,由于图象过点,可得,即,
由于,解得,即有.
由,解得,
故的图象的对称中心是,当时,的图象的一个对称中心是.
7.已知函数为偶函数，其图象与直线的交点的横坐标为，若的最小值为π，则( )
A. B. C. D.
7.答案：A
解析：因为函数为偶函数，
所以，所以.，
综合题意知，所以，所以.故选A.
8.为了得到函数的图象,只需要把函数的图象上( )
A.各点的横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度
B.各点的横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度
C.各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度
D.各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度
8.答案：B
解析：图象上各点的横坐标缩短到原来的,得到的图象,再向左平移个单位长度得到的图象,所以,为了得到函数的图象,只需要把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度,故选B.
9.将函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则的一个可能的值为( )
A. B. C. D.
9.答案：B
解析：将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为.
因为其图象关于y轴对称,所以当时,,
所以,即,所以当时,可得.故选B.
二、填空题
10.的部分图象如图所示，则___________.

10.答案：0
解析：，所以.又，
所以，所以.所以.
因为.所以，结合图象得,所以.
.
11.把函数的图象向左平移m个单位长度,所得图象关于y轴对称,则m的最小正值是______________.
11.答案：
解析：.把函数的图象向左平移m个单位长度,得函数的图象,∴,,即,,∴当时,m取得最小正值,为.
12.已知函数和的图象完全相同,若,则的值域是_____________.
12.答案：
解析：,易知,则,因为,所以,所以,所以.
13.已知，且在区间上有最小值，无最大值，则_____________.
13.答案：
解析：，
且在区间上有最小值，无最大值，
所以图象关于直线对称，即关于直线对称.
且，即.所以,且，所以.
三、解答题
14.已知函数,.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若,求的最大值和最小值,并指出取得最值时相应x的值.
14.答案：(1)函数,,
令,,得,,
所以函数的单调递增区间为,.
(2)因为,所以,
所以,所以当,即时,取得最小值,为;
当,即时,取得最大值,为6.
15.如图为函数的一个周期内的图象.

(1)求函数的解析式;
(2)若的图象与的图象关于直线对称,求函数的解析式及的最小正周期.
15.答案：(1)由图,知,,
∴,∴.将点代入,得.
∵,∴,∴.
(2)∵的图象与的图象关于直线对称,
∴,
∴的最小正周期为.