高考数学全真模拟试题第12626期.docx

高考数学全真模拟试题

1

单选题(共8个，分值共：)
1、已知正数、满足，则的最小值为（       ）
A．B．C．D．
2、某城市2020年1月到10月中每月空气质量为中度污染的天数分别为1，4，7，9，，，13，14，15，17，且.已知样本的中位数为10，则该样本的方差的最小值为（       ）
A．21.4B．22.6C．22.9D．23.5
3、已知为锐角且，则的值为（       ）
A．B．C．D．
4、以下各角中，是第二象限角的为（       ）
A．B．C．D．
5、笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率为（       ）
A．B．C．D．
6、集合或，若，则实数的取值范围是（       ）
A．B．C．D．
7、在中，角的对边分别为，若(为非零实数)，则下列结论正确的是（       ）
A．当时，是锐角三角形B．当时，是锐角三角形
C．当时，是钝角三角形D．当时，是直角三角形
8、函数在的图象大致为（       ）
A．B．
C．D．
多选题(共4个，分值共：)
9、已知角的终边与单位圆相交于点，则（       ）
A．B．
C．D．
10、下列命题中正确的是（       ）
A．若，，，则
B．若复数，满足，则
C．若复数为纯虚数，则
D．若复数满足，则的最大值为
11、已知函数，，对任意，则（       ）
A．B．
C．D．
12、已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（       ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
双空题(共4个，分值共：)
13、已知，，且，则的最小值为___________，此时___________.
14、已知事件A与互斥，且，，则_______，________.
15、若扇形的周长为定值，则当该扇形的圆心角______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.
解答题(共6个，分值共：)
16、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点.

（1）若线段AC上存在点D满足平面DEF//平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；
（2）证明：EF⊥A1C.
17、计算：
(1)；
(2)．
18、设函数，且.
（1）请说明的奇偶性；
（2）试判断在上的单调性，并用定义加以证明；
（3）求在上的值域.
19、计算
(1)；
(2).
20、已知向量与的夹角，且， ，求与的夹角的余弦值．
21、我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中a的值；
(2)若该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
(3)估计居民月均用水量的众数和第80百分位数.
双空题(共4个，分值共：)
22、___________，___________.

10

高考数学全真模拟试题参考答案
1、答案：C
解析：
利用指数运算可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
，所以，，
因为、均为正数，所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
2、答案：B
解析：
先根据中位数求出，再求出平均数，根据方差的公式列出式子，即可求解.
解：由题可知：，
则该组数据的平均数为，
方差，
当且仅当时，方差最小，且最小值为.
故选：B.
3、答案：C
解析：
利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求的值.
为锐角，故，而，故，
又
.
故选：C.
4、答案：B
解析：
将各选项中的角表示为，利用象限角的定义可得出合适的选项.
对于A选项，，为第三象限角，则为第三象限角；
对于B选项，，为第二象限角，则为第二象限角；
对于C选项，为第三象限角；
对于D选项，为第四象限角.
故选：B.
5、答案：D
解析：
依据古典概型即可求得“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率；
把2只鸡记为，，2只兔子分别记为“长耳朵”H和短耳朵h，
则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出，共有如下24种不同的取法：
，，，，，
，，，，，
，，，，，

，，，，，
其中“长耳朵”H恰好是第2只被取出的动物，则共有种不同的取法.
则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率
故选：D
6、答案：A
解析：
根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．
解：，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．
当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．
故选：A．
小提示：
易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.
7、答案：D
解析：
由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解．
对于，时，可得：，可得，这样的三角形不存在，故错误；
对于，时，可得：，可得为最大角，由余弦定理可得，可得是钝角三角形，故错误；
对于，时，可得：，可得为最大角，由余弦定理可得，可得是锐角三角形，故错误；
对于，时，可得：，可得，即为直角，可得是直角三角形，故正确.
故选：D
小提示：
思路点睛：判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
8、答案：B
解析：
由可排除选项C、D；再由可排除选项A.
因为
，故为奇函数，
排除C、D；又，排除A.
故选：B.
小提示：
本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.
9、答案：ABC
解析：
根据三角函数定义得到正弦，余弦及正切值，进而利用诱导公式进行计算，作出判断.
根据三角函数的定义得：，，，故AB正确；
，C正确；
，D错误.
故选：ABC
10、答案：AD
解析：
A由复数相等条件即可判断正误；B、C应用特殊值法，代入验证即可；D根据的几何含义：以为圆心2为半径的圆，求为该圆上的点到最大距离，判断正误.
A：由复数相等知：，有，正确；
B：若，有，错误；
C：若时，，错误；
D：令，则为圆O：，而表示圆O上的点到的最大距离，所以，正确.
故选：AD.
11、答案：BCD
解析：
对选项A，根据指数的运算性质即可；对选项B，可判断出是奇函数，即可判断；对选项C，通过作差法比较即可；对选项D，根据函数的单调性和奇偶性转化不等式，再通过判别式即可判断.
对选项A，，，故选项A错误；
对选项B，，，则，故选项B正确；
对选项C，
不妨设，则，故，故选项C正确；
对选项D，因为是奇函数，在上递减
则要使恒成立
只需：
只需：
只需：
而，故，故选项D正确
故选：BCD
12、答案：BD
解析：
根据空间直线与平面间的位置关系判断．
解：对于A，若，，，，则与相交或平行，故A错误；
对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确；
对于C，若，，，则或，故C错误；
对于D，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确.
故选：BD.
13、答案：     4     3
解析：
由基本不等式可得，结合已知条件可得的最小值，再根据等号成立的条件求出对应的a、b，即可求.
由，当且仅当，即，时等号成立，此时.
故答案为：4，3.
14、答案：     0.6##     0.9##
解析：
利用对立事件的概率之和为1进行求解；互斥事件A与的概率加法公式
因为事件与是对立事件，且，所以；因为事件A与互斥，所以
故答案为：0.6，0.9
15、答案：     2    
解析：
设扇形的半径为，则，扇形的面积，利用二次函数的性质分析即得解
设扇形的半径为，则扇形的弧长为
故
扇形的面积
由二次函数的性质，当时，面积取得最大值为
此时，
故答案为：2，
16、答案：（1）存在为的中点时使平面DEF//平面ABC1，理由见解析；（2）证明见解析.
解析：
（1）若为的中点，连接，易得，应用线面平行的判定可得面ABC1、面ABC1，再由面面平行的判定可证面DEF//面ABC1，即可确定D的位置，
（2）若是与交点，是中点，连接，易得为、中点且为平行四边形，进而证明△为等腰三角形即可证结论.
（1）若为的中点，连接，又E，F分别是棱BC，CC1的中点，

∴，又面ABC1，面ABC1，则面ABC1，
面ABC1，面ABC1，则面ABC1，
由，则面DEF//面ABC1，
综上，存在为的中点时使平面DEF//平面ABC1.
（2）若是与交点，是中点，连接，

由三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，E，F分别是棱BC，CC1的中点，
∴为、中点，易知：且，且，
∴且，即为平行四边形，
∴，又AB⊥AC，AC＝AA1，
∴在直角△和直角△中，，，
∴，故在等腰△中，，即.
17、答案：(1)
(2)
解析：
（1）根据幂的运算和分数指数幂与根式之间直接可得；
（2）先换底，然后由对数的运算公式可得.
(1)
原式
(2)
原式
18、答案：（1）是奇函数；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）.
解析：
（1）根据求出，根据定义可知是奇函数；
（2）在上单调递增，按照取值、作差、变形、判号、下结论这五个步骤证明可得解；
（3）根据（2）的单调性求出最值可得值域.
（1）由，得，，所以.
由于定义域为，关于原点对称，且，所以是奇函数.
(2）在上单调递增，证明如下：
证明：设，则.
因为，所以，，
所以，在上单调递增.
（3）因为函数在上单调递增，
所以，.
所以函数在上的值域为.
小提示：
本题考查了函数的奇偶性，考查了利用定义证明函数的单调性，考查了利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题.
19、答案：(1)2
(2)
解析：
（1）根据对数计算公式，即可求得答案；
（2）将化简为，即可求得答案.
(1)

(2)

20、答案：.
解析：
由模、夹角求，应用向量数量积的运算律求，令与的夹角为，则有即可求余弦值.
∵向量与的夹角，且， ，
∴，，
设与的夹角为，则，
∴与的夹角的余弦值为．
21、答案：(1)
(2)，理由见解析
(3)2.73
解析：
（1）由直方图中所有小长方形面积之和为1，可计算得a的值；
（2）求出100位居民月均用水量不低于3吨的频率，根据频率，频数，样本容量的关系进行运算；
（3）根据众数，百分位数的求法进行运算.
(1)
由频率分布直方图可知，月均用水量在的频率为，
同理，在，，，，，等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02，
由，
解得；
(2)
由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为：，
由以上样本的频率分布可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为：.
(3)
直方图中众数位于最高矩形底边中点2.25，
所以由样本估计总体，居民月均用水量的众数为2.25.
由直方图可得，从左到右前5组的频率依次为：0.04，0.08，0.15，0.21，0.25，
前五组频率之和为0.73，
第6组频率为0.15，
所以前6组频率之和为，
故第80百分位数位于第6组，结果为，
即第80百分位数为2.73.
22、答案：     4     2
解析：
利用指数式和对数式互化关系以及对数的运算法则即可求解.
，，
故答案为：4，2.