第八章第六节双曲线.doc

一、选择题
1．(2011·安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．4
解析：双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2,2a＝4.
答案：C
2．(2012·烟台模拟)与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：椭圆＋y2＝1的焦点为(±，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A、C.又双曲线－y2＝1经过点(2,1)．
答案：B
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个顶点与抛物线y2＝20x的焦点重合，该双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线斜率为(　　)
A．±2 B．±
C．± D．±
解析：由抛物线y2＝20x的焦点坐标为(5,0)，可得双曲线－＝1的顶点坐标为(5,0)，即得a＝5，又由e＝＝＝，可解得c＝，则b2＝c2－a2＝，即b＝，由此可得双曲线的渐近线的斜率为k＝±＝±.
答案：C
4．设F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|＝2＝4，
S△PF1F2＝|F1F2|×|y0|＝2|y0|＝2，|y0|＝1，－y＝1，x＝3(y＋1)＝6，·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.
答案：B
5．(2012·杭州模拟)已知双曲线C：－＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：设H(x，y)如图，OH：y＝x，HF2：y＝－(x－c)，
由解得H(，)，
所以HF2的中点为M(，)，代入双曲线方程整理得：c2＝2a2，所以e＝.
答案：A
二、填空题
6．(2011·潍坊模拟)双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是________．
解析：由题意得：双曲线－＝1的渐近线为y＝±x.∴焦点(3,0)到直线y＝±x的距离为＝.
答案：
7．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
解析：由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.
∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图像的对称轴为x＝，∴当x＝1时，·取得最小值－2.
答案：－2
三、解答题
8．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程．
解：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：

两式作差得：
＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得
a2＝4，b2＝5.
所以双曲线的标准方程是－＝1.
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明　法一由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2.∴F1(－2，0)，F2(2，0)．
∴kMF1＝，k MF2＝.
k MF1·k MF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3.
故k MF1·k MF2＝－1.∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
方法二：∵＝(－3－2，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2
＝－3＋m2.∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0.
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
10．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，
∴一条渐近线为y＝ x.
即bx－2y＝0.∴＝.
∴b2＝3∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得
x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.
∴∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．