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抽取与内插的频谱分析
工科试验班
钟汇凯
3080100443

我们知道，为了避免在抽样信号中出现混叠，抽样定理要求被抽样的信号是一个带限信号。然而，在实际应用中，绝大多数信号都不能满足这个要求，为了减小混叠的影响以及放宽对滤波器性能指标的要求，在实际应用中往往采取一种提高抽样率的办法，使信号的抽样率远远大于限带滤波器通带频率的两倍。例如，在下图中，当抽样频率略大于限带频率 wm 的两倍时，混叠的影响还是很明显的，而当抽样频率远远大于两倍的 wm 时，混叠的影响就非常之小了。

虽然提高抽样率可以减小混叠的影响，但是，在对连续时间信号进行处理的离散时间系统中，过高的抽样率将增加系统的成本，因为，过高的抽样率将要求离散时间系统以较高的速率工作，而高速率器件的成本一般都要贵于低速率的器件。可以设想，如果能对信号的抽样率进行调整，使得在信号的抽样和恢复中使用较高的抽样率，在离散时间处理中使用较低的抽样率，那么，上述性能和成本的矛盾就可以得到适当的折中，而离散时间信号的抽取和内插就是一种调整信号抽样率的办法。从技术性能层面来看。这两种方法类似于连续时间信号的抽样和内插。

抽取

离散时间信号的抽取包含信号抽样和尺度变换两个步骤：首先，以抽样间隔 N 对离散时间信号进行抽样，然后再对抽样信号进行 1/ N 的尺度压缩变换。下图是离散时间信号的抽取过程，图中，x [ n ] 是离散时间信号，xs [ n ] 是抽样信号，抽样间隔 N＝3，xd [ n ] 是抽取信号，它是 xs [ n ] 进行 1/N 尺度压缩变换后所得到的结果。

由图可见，在抽样信号 xs [ n ] 和抽取信号 xd [ n ] 之间存在以下关系: 　　
　　　　　　　　　　　　　(1)
由于抽样信号 xs [ n ] 在 N 的整数倍上和离散时间信号 x [ n ] 相等，因此，式(4.55)也可等效为：
　　　　　　　　　　　　　(2)
虽然式(1)和式(2)在形式上完全相同，但两者的含义不同：式(1)的含义是，抽取信号 xd [ n ] 是由抽样信号 xs [ n ] 进行 1/N 尺度压缩变换的结果；而式(2)的含义是，抽取信号 xd [ n ] 是从离散时间信号x [ n ] 中每隔(N－1)个点取一个样本值所组成的一个新序列，这个过程就称为离散时间信号的抽取。
既然 xd [ n ] 是 xs [ n ] 进行尺度变换的结果，那么，利用 xs [ n ] 的傅里叶变换和傅里叶变换的尺度换性质就可以求得抽取信号 xd [ n ] 的变换式。
根据式(1)和傅里叶变换的尺度变换特性可以求得:
　　　　　　　　　　(3)
而 抽样信号 xs [ n ] 的傅里叶变换为:
　　　　　(4
将此式代入式(3)而得:

由于，抽取信号 xd [ n ] 的傅里叶变换为：
　　　　　(4.59)
此式表明，抽取信号的频谱是被扩展 N 倍的离散时间信号的频谱以 2p 为间隔周期重复的结果。或者说，抽取信号的频谱由 N 个离散时间信号的频谱叠加而成，这 N 个频谱的频带被扩展了 N 倍，而且，每个频谱之间相距 2p 。如果考虑抽取信号和抽样信号之间的关系，那么，由式(3)可知，抽取信号的频谱仅仅是抽样信号频谱扩展 N 倍的结果。下图给出了当 N = 3 时，离散时间信号、抽样信号以及抽取信号的频谱，其中，下图a主要用来说明抽取信号的频谱和抽样信号频谱之间的关系，而下图b主要用来说明抽取信号的频谱和原序列频谱之间的关系。

内插

离散时间信号的内插是抽取的逆过程，它可以增加信号的抽样率，因此，内插也称为增抽样。内插一般用来从抽取信号中还原出离散时间信号，其基本过程是在抽取信号的两个相邻样本值之间插入(N -1)个零值点，这也是从抽取信号到抽样信号的转换，然后再利用一个低通滤波器滤出原离散时间信号，整个过程的相关波形及系统结构如图。

根据内插的定义，当n/N为整数时，抽取信号xd [ n ]和内插信号xi [ n的关系为：

　而当不为整数时，xi [ n ] = 0。根据这个定义可将抽取信号表示为:
　　　　　　　　(5)
再利用尺度变换性质，可以求得:

　　　　　(6)
该式表明，内插信号的频谱是对抽取信号的频谱进行尺度压缩变换的结果，其尺度因子为 1/N 。

如果使内插信号通过一个截止频率为的低通滤波器，则滤波器的输出就是离散时间信号 x [ n ]，这样，我们就从抽取信号中还原出了原来的离散时间信号，整个还原过程的相关频谱如图所示，图中假设内插因子 N = 3 。

举例与MATLAB分析
抽取X[ones（1,11）]
X1=X[2N] X2=X[3N]
MATLAB仿真

内插x1=[zeros(1,18),1,1,1,1,1,zeros(1,18)];
x2=[zeros(1,16),1,0,1,0,1,0,1,0,1,zeros(1,16)];
x3=[zeros(1,14),1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,zeros(1,14)];
MATLAB仿真：