圆的新课11.doc

弧长和扇形面积
重点
经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形面积计算公式；会用公式解决问题．
难点
探索弧长及扇形面积计算公式；用公式解决实际问题．
【活动一】引出问题
1.半径为R的圆的周长是多少？圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
2.1°圆心角所对弧长是多少？2°呢？……n°呢？
【活动二】观察，得出弧长公式：
在半径为R的图中，n°的圆心角所对的弧长为：

并直接应用公式进行有关的练习
例题讲解：
例1、如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置上，设BC＝1，AC＝，则顶点A运动到A2的位置时，点A经过的路线有多长？点A经过的路线与直线所围成的图形的面积有多大？

【巩固练习】
1.在半径为18的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．12p B．10p C．6p D．3p
2.在半径为5的圆中，的圆心角所对的弧长为______(结果保留)
A
B

O
3.如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧AB．已知半径，，则管道的长度（即弧AB的长）为 cm．（结果保留）

【活动三】提问：1、什么是扇形？2、半径为R的圆的面积是多少？
类比【活动一】【活动二】，由扇形面积与圆的面积的关系，得出扇形面积公式为：

得到扇形面积另一个公式为：
例题讲解：

例2、如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，为半径的圆两两相切于O1、O2、O3。求围成的图形面积（图中阴影部分）

例3、已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。设弦AB的长为d，圆环面积S与d之间有怎样的数量关系？

【巩固练习】
1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；
2、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_________°.
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_____________
4.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，已知在⊙O中，AB=，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.

6、如图，PA、PB切⊙O于A、B，求阴影部分周长和面积。

7、如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离，它们的半径是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图中四个扇形的面积和是多少？

（第8题）
直击中考
8、如图，⊙P内含于⊙，⊙的弦切⊙P于点，且．
若阴影部分的面积为，则弦的长为（　 　）
A．3 B．4 C．6 D．9
9、如图，把⊙O1向右平移8个单位长度得⊙O2，两圆相交于A、B，且O1A⊥O2A，则图中阴影部分的面积是
A.4π-8 B. 8π-16
C.16π-16 D. 16π-32
10、如图8，圆心角都是90º的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．
图8
（1）求证：AC=BD；
（2）若图中阴影部分的面积是，OA=2cm，求OC的长．

11、如图，AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC,垂足为E，若BC=6，DE=3．
求：(1) ⊙O的半径；
(2)弦AC的长；
(3)阴影部分的面积．

12、
如图，为的直径，于点，交于点，于点．
C
B
A
O
F
D
E
（1）请写出三条与有关的正确结论；
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．

圆锥的侧面积和全面积
【学习目标】圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积。

新知学习
如图 23.3.6，我们把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中，而就是圆锥的高。

圆锥的侧面积和全面积的计算方法
问题；1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？

归纳：1.圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
2.圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。
例题讲解：
1. 一个圆锥形零件的母线长为a，底面的半径为r，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．

2、已知：在中，，，，求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。

3.已知扇形的圆心角为120°，面积为300cm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？

【巩固练习】
1.已知圆锥的底面半径为6，高为8，则它的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
2.将一块弧长为p 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为（ ） A． B． C． D．
3.已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为（ ）
A．15πcm2 B．24πcm2 C．30πcm2 D．39πcm2
4.在半径为18的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．12p B．10p C．6p D．3p
5.在中，，，，将绕边所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
6.在半径为5的圆中，的圆心角所对的弧长为______(结果保留)

7.如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为米，圆心角均为，则铺上的草地共有 平方米．

8.如图，有一木质圆柱形笔筒的高为，底面半径为，现要围绕笔筒的表面由至（在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是 ．
9.圆锥的母线和底面的直径均为6，圆锥的侧面展开图的圆心角等于 度．

S
B
A
45cm
10.如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么围成的圆锥的高度是 cm．
O
B
AB
第4题图
5cm

11.如图，扇形彩色纸的半径为45cm，圆心角为，用它制作一个圆锥形火炬模型的侧面（接头忽略不计），则这个圆锥的高约为 cm．（结果精确到0.1cm．参考数据：，，，）
12.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=5，∠BOC=50°，OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长．
（2）求劣弧AC的长(结果精确到0.1)．

13.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留）．

①
②
③
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．
（3）当⊙O的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

应用探究提高练习：
1.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为，若一只小虫从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路程是 （结果保留根号）

Ｄ
Ｃ
A
B
第1题图
第2题图

2.如图，把半径为4cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶点，那么这个圆锥的高是______cm．(结果保留根号)
3.如图，在正方形铁皮上（图1）剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成（图2）所示的一个圆锥模型，该圆的半径为r，扇形的半径为R，则圆的半径与扇形的半径之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
Ａ
Ｆ
Ｅ
Ｏ
第6题图
A
O
B
第4题图
4.如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1 cm，则这个圆锥的底面半径为（ ） A．cm B．cm C．cm D．cm

第5题图
5.如图，梯形中，，，，，以为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是 ．
6.如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为10cm．母线长为10cm．在母线上的点处有一块爆米花残渣，且cm，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm．
7.如上右图所示，草地上一根长5米的绳子，一端拴在墙角的木桩上，加一端栓着一只小羊R。那么，小羊在草地上的最大活动区域的面积是______________ m2．
8.在一次数学探究型学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形制片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面.它们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二.（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及
其底面圆半径；若不可行，请说明理由.

方案一 方案二

9、如图10，已知是的直径，点在上，且，．
（图10）
A
B
C
D
O
（1）如果，垂足为，求的长．
（2）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．

10、如图6，在气象站台A的正西方向的B处有一台风中心，该台风中心以每小时的速度沿北偏东的BD方向移动，在距离台风中心内的地方都要受到其影响。
⑴台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？
图6
⑵台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的实践会持续多长？

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