万有引力定律专题.doc

万有引力定律专题

3．万有引力定律的适用条件

例1、如下图所示，在半径R＝20cm、质量M＝168kg的均匀铜球中，挖去一球形空穴，空穴的半径为要，并且跟铜球相切，在铜球外有一质量m＝1kg、体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直线上，并且在空穴一边，两球心相距是d＝2m，试求它们之间的相互吸引力．
解： 完整的铜球跟小球m之间的相互吸引力为
这个力F是铜球M的所有质点和小球m的所有质点之间引力的总合力，它应该等于被挖掉球穴后的剩余部分与半径为娄的铜球对小球m的吸引力 F=F1+F2．
式中F1是挖掉球穴后的剩余部分对m的吸引力，F2是半径为R／2的小铜球对m的吸引力。因为，
所以挖掉球穴后的剩余部分对小球的引力为F1＝F－F2＝2.41×10－9N

例2、深入地球内部时物体所受的引力
假设地球为正球体，各处密度均匀．计算它对球外物体的引力，可把整个质量集中于球心．如果物体深入地球内部，如何计算它所受的引力?
如右图所示，设一个质量为m的物体(可视为质点)在地层内离地心为r的A处．为了计算地球对它的引力，把地球分成许多薄层．设过A点的对顶锥面上两小块体积分别为△V1、△V2．当△V1和△V2很小时，可以近似看成圆台．
已知圆台的体积公式

式中R1和R2分别是上、下两底面的半径．
当圆台很小很薄时，且H＜＜　a，H＜＜　b时，R1≈R2≈R．那么Ｖ＝πHR2
根据万有引力定律

所以，即两小块体积的物体对A处质点的引力大小相等，且方向相反，它们的合力为零．
当把地球分成许多薄层后，可以看到，位于A点以外的这一圈地层(右图中用斜线表示)对物体的引力互相平衡，相当于对A处物体不产生引力，对A处物体的引力完全由半径为r的这部分球体产生．引力大小为
即与离地心的距离成正比．
当物体位于球心时，r=0，则Fr＝O．它完全不受地球的引力．
所以，当一个质量为m的物体从球心(r＝0)逐渐移到球外时，它所受地球的引力F随r的变化关系如右图所示．即先随r的增大正比例地增大；后随r的增大，按平方反比规律减小；当r＝R0(地球半径)时，引力．
5．物体在地面上所受的引力与重力的区别和联系
地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因．但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是，式中的r是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度．这个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力F，它是引力F的一个分力如右图，引力F的另一个分力才是物体的重力mg．
在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力 (R为地球半径)，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，在两极处Rcosα＝0，f＝0．作为引力的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大．在赤道上，物体的重力等于引力与向心力之差．即．在两极，引力就是重力．但由于地球的角速度很小，仅为10－5rad／s数量级，所以mg与F的差别并不很大．
在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力这是一个很有用的结论．
从图中还可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg才能向地心．
同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体的重力和重力加速度g的数值，还随着物体离地面高度的增加而减小．
若不考虑地球自转，地球表面处有，可以得出地球表面处的重力加速度．
在距地表高度为h的高空处，万有引力引起的重力加速度为g＇，由牛顿第二定律可得：
　　即
如果在h＝Ｒ处，则g＇＝g／4．在月球轨道处，由于r＝60Ｒ，所以重力加速度g＇＝ g／3600．
重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用．

例3、某行星自转一周所需时间为地球上的6h，在这行星上用弹簧秤测某物体的重量，在该行量赤道上称得物重是两极时测得读数的90％，已知万有引力恒量G＝6.67×10－11N·m2／kg2，若该行星能看做球体，则它的平均密度为多少?
[解析]在两极，由万有引力定律得　　 ①
在赤道 ②
依题意mg＇=O.9mg ③
由式①②③和球体积公式联立解得

二、万有引力定律在天文学上的应用
1． 万有引力定律提供天体做圆周运动的向心力

⑴人造地球卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系
①由得　　　　　r越大，v越小
②由得　　　　　r越大，ω越小
③由得　　　r越大，T越大
例4、土星外层上有一个环。为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度a与该l层到土星中心的距离R之间的关系来判断： ( ＡＤ )
A．若v∝R，则该层是土星的一部分；　　　B．若v2∝R，则该层是土星的卫星群
C．若v∝１／R，则该层是土星的一部分 　 D．若v2∝１／R，则该层是土星的卫星群

⑵求天体质量、密度
由　　 　即可求得

注意天体半径与卫星轨迹半径区别

⑶人造地球卫星的离心向心问题
例5、在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度开始增加，从而使得部分垃圾进入大气层，开始做靠近地球的向心运动，产生这一结果的原因是 ( C )
A．由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的向心运动
B．由于太空垃圾受到地球引力增大而导致的向心运动
C．由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动
D．地球引力提供了太空垃圾做圆周运动所需的向心力，故产生向心运动的结果与空气阻力无关

例6、宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站 ( A )
A．只能从较低轨道上加速
B．只能从较高轨道上加速
C．只能从同空间站同一高度轨道上加速
D．无论在什么轨道上，只要加速都行

2． 人造地球卫星

⑴宇宙速度
第一宇宙速度
，是地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星在近地轨道上运行时的速度．
由得　．
例7、1990年3月，紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，其直径为32 km，如该小行星的密度和地球相同，则其第一宇宙速度为
m／s，已知地球半径Ｒ=6400km，地球的第一宇宙速度为8 km／s．（20m／s）
第二宇宙速度的计算
如果人造卫星进入地面附近的轨道速度等于或大于1l.2km／s，就会脱离地球的引力，这个速度称为第二宇宙速度．
为了用初等数学方法计算第二宇宙速度，设想从地球表面至无穷远处的距离分成无数小段ab、bc、…，等分点对应的半径为r1、r2…，如下图所示．
由于每一小段ab、bc、cd…极小，这一小段上的引力可以认为不变．因此把卫星从地表a送到b时，外力克服引力做功

同理，卫星从地表移到无穷远过程中，各小段上外力做的功分别为

…

把卫星送至无穷远处所做的总功
为了挣脱地球的引力卫星必须具有的动能为
所以
第三宇宙速度的推算
脱离太阳引力的速度称为第三宇宙速度．因为地球绕太阳运行的速度为v地＝30km/s，根据推导第二宇宙速度得到的脱离引力束缚的速度等于在引力作用下环绕速度的倍，即
因为人造天体是在地球上，所以只要沿地球运动轨道的方向增加△v＝12.4km／s即可，即需增加动能．所以人造天体需具有的总能量为

得第三宇宙速度