周期函数性质的证明.doc

红河学院本科毕业论文（设计）
摘要
本文探讨了周期函数与周期的定义与性质．讨论了周期函数最小正周期的存在性，引入了最小正周期存在的充分条件，并给了详细的证明，主要研究了周期函数中的两个问题，得到了非常数周期函数的周期是其最小正周期的整数倍，及它和它导函数的最小正周期相同这两个结论．

关键词：周期函数；最小正周期；导函数

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ABSTRACT
This article discusses the definition and nature of the periodic function with cycle．The Existence of a periodic function of the smallest positive cycle，Introduces a sufficient condition for the existence of the smallest positive cycle，And give a detailed proof．Main study two problems in the periodic function，Been nonconstant periodic function of the cycle is an integer multiple of the smallest positive cycle，And the smallest positive cycle and its derivatives of these two conclusions．

Keywords: Periodic function；The smallest positive period；Derivative function

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目录

第一章 引言…………………………………………………………………1
第二章 相关知识和定理……………………………………………………2
第三章 主要定理的证明……………………………………………………5
第四章 小结…………………………………………………………………10
参考文献………………………………………………………………………11
致谢……………………………………………………………………………12

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第一章 引言

周期函数是一类较特殊的函数．它主要描述了客观世界中一些具有周期性现象的数量关系．如果一个函数是周期函数，那么对于其形态的研究可带来不少方便．因此研究周期函数是具有一定意义的．我们知道有些周期函数在定义域上存在最小正周期，比如，，，等，但并不是每一个函数都有最小正周期，如常值函数，狄利克雷函数等，所以有必要讨论最小正周期的存在性，引入最小正周期存在的充分条件，并给了详细的证明．存在最小正周期的周期函数和它导函数的最小正周期是否相同，本文利用连分数的相关知识证明了非常数连续周期函数的最小正周期和它导函数的最小正周期周期之间的关系．列举了出个几个例子来判断一个函数是否为周期函数．

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第二章 预备知识
第二章 预备知识

定义2.1如果有一实数，使对任意（指函数的定义域），均有，则称为以T为周期的周期函数．

定义设是周期函数的周期，那么对于一切正整数，都是的周期．从而可知周期函数必有正周期；周期函数的所有周期的集合是一个上，下方均无界且对称于数轴原点的无穷集合．

定义 若，为的周期，且，则也是的周期．

给定一个周期函数，总希望找到它的最小正周期，但不是所有周期函数都有最小正周期．
例如：在整个数轴上处处不连续的狄利克雷函．

以任何非零有理数为周期，又因为有理数中无最小正数，故无最小正周期．

定义 设是的连续周期函数，且周期为，是它在上的一个原函数，则在上有界．
证明：若在上以为周期，则在上连续，从而存在最大值和最小值，分别设为，，令，则有，即有界．
，关于连分数的一些结果．

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命表一正实数，是它的整数部分，又命，则也是正实数，而且大于，在命是的整数部分及，如此下去，命为的整数分，而，如此就就得到一个分数：

记为
经过计算得到，，
普通命，成为的第个渐进分数或渐进值．
定理2.5.1：渐进分数的分子与分母有如下关系：
………
…………
证明：用归纳法．当时，上面的结论显然正确．假定已知时，以上结论成立．

立，可得证．

故当时也成立，可得证．

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第二章 预备知识

定理2.5.2：
与还适合以下的公式：

证明：当时显然成立，现在用归纳法，由定理2.5.1知

故成立

又由定理2.5.2知
及为（2）式

定理2.5.3

证明：我们有，，

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第三章 主要定理的证明

定理3.1：设是以非常数连续周期函数，则必有最小正周期．
证明：设，则E非空有下界，存在，设为，
下面证明：（1），；(2) ．由此可得是函数的最小正周期．

若，则显然有；
若，那么存在，有，于是，由于的连续知====
所以也是的周期．

（2） 由确界的性质知，假设，可推出为常值函数，为此，只要证明对任意实数，及，均有

事实上，对任意，存在，使得当时恒有：

因为的下确界，所以存在，由于中的数皆正，所以 ，
令 ，则，又因为为的周期，

因为，为的周期，又因为为的下确界，所以它是的最小正周期．
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第三章 主要定理的证明

推论1：周期函数具有连续性是函数具有最小正周期的充分条件．

定理3.2：如果是连续非常数周期函数的一个正周期，由定理3.1，有最小正周期，则，使
证明：，由已知得到
1）设，，
取，则
由于与都是的周期，也是的一个周期
又

故，这与是是最小正周期矛盾．

2）（正无理数），由定理2.5.3，，，
，又由于，，，，使，
，而又是的一个周期
这与定理3.1矛盾
综合1）2）知必，使
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推论2：如果，都是连续的周期函数的周期，且为一无理数，则为常数函数．

证明：如果不是非常数函数，据定理3.1，有最小正周期，
由是的一个周期，根据定理3.2，，使；
由是的一个周期，根据定理3.2，，使；
，
又根据题意为一无理数，故矛盾，原假设不成立，从而为一常数函数

例1：
设是实数集上R上一非常数连续函数，如果对所有成立，证明为一常数函数．
证明：根据题意，知有两个周期，分别为和，他们之比为无理数，由推论2知为一常数函数．

定理3.3：设是实数集上一非常数函数，且有连续的导函数，则的最小
正周期为,当且仅当的最小正周期为．

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第三章 主要定理的证明
证明：
充分性：，使得，又存在导函数，
也是一个周期函数且周期为．
根据定理3.2，假设存在最小正周期,

设
若，则已明；
若，则

同理得

而
，对所有成立．故是的一个周期．
这与是的最小正周期矛盾．
的最小周期是

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必要性：设是的最小正周期，，
由
令，

同理得，
如果，即，
这与是周期函数，从而有界相矛盾（定理2.4）．
，
故是的一个周期，根据定理3.2，假设它的最小正周期为
根据充分性知，从而
故是的最小正周期．

推论3：由定理3.2及定理3.3，如果是实数集上一非常数连续周期函数，且有连续的导函数，则是的周期当且仅当是的周期．

例2：证明不是周期函数．
证明：令，显然它在上连续可导，且不为常数函数．如果是周期函数，则也是周期函数．取，，这与实数集上连续周期函数有界矛盾．

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第四章 小结
第四章 小结

本文证明了周期函数存在最小正周期的充分条件，得到了非常数周期函数的周期是其最小正周期的整数倍，及它和它导函数的最小正周期相同这两个结论．

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参考文献

张崇德.周期函数的最小正周期的几个判定定理.重庆师范学院学报（自然科学版）1990年9月.
杨曼英.关于周期函数及最小正周期的探讨.娄底师范高等专科学校数学系2000 -9-30
刘永志.关于原函数性质的两个标记.西南大学学报.1989年3月
华罗庚.高等数学引论第一卷第一分册.科学出版社1979年

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致谢