复变函数模拟题.docx

模拟试题一
一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
在下列每小题的4个备选项中，只有一个是正确的，请将其代码（A、B、C、D）填在题后的答题卡内。
1. 当11izi+=−时，的值等于[ ]. 1007550zzz++
A. i; B. ; C. 1; D. -1. i−
2．复数的主值为[ ]. ii
A． 0; B. 1; C. 2eπ; D. 2eπ−.
3．函数()fz在点可导是0z()fz在点解析的[ ]. 0z
A．充分不必要条件； B. 必要不充分条件；
C．充分必要条件 D. 以上答案全不对.
4．设()fz在单连通域内解析，C为内的一条简单光滑闭曲线，则必有[ ]. DD
A. ; B. Im[()]0cfzdz=∫􀁶Re[()]0cfzdz=∫􀁶;
C．; D. |()|0cfzdz=∫􀁶Re()0cfzdz⎡⎤=⎣⎦∫􀁶.
5. 下列级数中，绝对收敛的级数是[ ].
A．11(1)ninn∞=+Σ; B. 2lnnnin∞=Σ; C. 1(1)2nnnin∞=⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦Σ, D. 1(8)!nnin∞=Σ.
6．若级数在点收敛，则它必在[ ]. 0(2)nnncz∞=−Σ0z=
A． 点收敛; B. 点发散; 3z=2z=
C． 点发散; D. 以上全不正确. 3z=
7．设34561111 ()(1)(1)(1)(1)fzzzzzz==−+−−−−−􀀢􀀢， 其中|1|z −>，则[ ].
A．是1z=()fz的本性奇点; B. 1z=是()fz的4级极点；
C. 是1z=()fz的3级极点; D. 以上全不正确.
8．是函数1z=1(1)sin1zz−−的[ ].
A．本性奇点; B.一级极点; C. 一级零点; D. 可去奇点.
9．函数cot23zzπ−在|内的孤立奇点个数为[ ]. |zi−=
A．1; B. 2; C. 3; D. 4.
10．设，则其拉氏变换()(1)tfteut−=−[()]Lft=[ ].
A．(1)1ses−−−; B. 1ses−−; C. (1)1ses−++; D. 1ses−+.
二． 填空题（本题每空2分，共16分）。
1．函数22()fzxyix=+ 在 处可导，在 处解析。
2．复数Ln的主值是 (2)−。
3．复数co的实部是 s(1)i+，虚部是 。
4．设C为曲线||的正向，那么积分1z=2ncnzdz+∞=−=Σ∫􀁶 。
5．函数411z+在所有有限奇点处的留数之和为。
6. 设()cosft= ，则其傅立叶变换[()]Fft= 。
三．验证函数为调和函数，并求一满足条件的解析函数22(,)2uxyxyxy=−+(0)0f=()(,)(,)fzuxyivxy=+（本题7分）。
四． 沿指定曲线的正向计算下列积分（每小题5分，共15分）：
1．计算(1),czdz+∫其中c为从原点到11z=+的直线段。
2．计算2132cdzzz−+∫􀁶，其中曲线3:||2cz=。
3．计算21(1)zcedzzz−−∫􀁶，其中曲线:||2cz=。
五． 将函数21()32fzzz=−+分别在区域
1．1|； 2. 0|1|z<−<+∞2|1z<−<
内展开成罗朗级数（每小题4分，共8分）。

六． 求解下列各题（每小题5分，共10分）：
1．在有限复平面上求函数()sinzfzzπ=的孤立奇点，确定它们的类型，并求出函数在孤立奇点处的留数。
2．计算积分111zcedzz+∫􀁶，其中曲线为:||2cz=的正向。

七．计算下列各题：
1．已知()cos2()fttu =⋅，求()ft的傅氏变换(本题5分)。
2．用拉氏变换法解下列常微分方程：
33yyyy′′′′′′ +++=
初始条件为（本题9分）。

模拟试题二
一、 填空（10分）

1．=Lni______________
2．=∫=1coszzdz______________
3．______________ =]1[L
4．3cos1zz−在0=z点的留数为______________
5．已知),(1)]([ωπδω+=jtuF
则=)]([0tueFtjω______________
二、 判断是非（正确打√，错误打 ╳）（10分）
1． 若)(zf在点解析，则必定在的某个小邻域内处处解 析。 （ ） 0z0z

2．iyxzzf−==)( 处处解析。 （ ）
3． 为调和函数。 （ ） 22),(yxyxu+=
4．级数不可能在Σ∞+=−0)2(nnnzc0=z点收敛而在3=z点发散。（ ）
5．对任意复数，皆有 zLnzLnz22=。 （ ）
三、 用柯西—黎曼定理判别函数 33)(iyxzf+=
1) 在何处可导，何处解析；

2) 求可导点处的导数。 （8分）
四、 计算下列各题（21分）
1． 求解方程：014=+z

2．∫=++=12)111(zzdzezzI
3．∫==2tanzzdzI
五、 级数展开（14分）
1． 将在 点展成泰勒级数，并求收敛半径。 zezfzsin)(=0=z
2． 将231)(2+−=zzzf 在1=z点展成罗朗级数。

六、 求下列函数的孤立奇点，判别奇点类型，并求孤立奇点处的
留数。（14分）

1．zzzfsin1)(=
2．1)(−=zezzf
七、 积分变换

1 1． 记：)()]([ωFtfF=，证明相似公式：

)(1)]([aFaatfFω=，其中a为非零常数。 （5分）
2． 用拉普拉斯变换求解下列常微分方程问题：（8分）

⎩⎨⎧=′=>=+′′ByAyttftyaty)0( ,)0(0 ),()()(2
八、1．讨论 Σ∞+=0nnni 是绝对收敛还是条件收敛。（5分）
2．用留数法计算积分：∫=−=2111zzdzezI （5分）