高中数学论文圆不离_三_ 方程寻根新人教B版.doc

数学题根 (13) 圆不离“三” 方程寻根

一、三点定圆的条件
“两点线，三点圆”，讲的是确定一条直线只须两点，那么确定一个圆 “只须三点”吗?

【例1】 平面上有A，B，C 三点，求作一个圆⊙O，使⊙O 同时经过A，B，C 三点.
【分析】 按圆的定义：到定点O的距离等于定长的点的集合. 于是产生了“中垂线法”找圆心.
【作法】 (1)依次连接AB，BC.
(2)分别作AB,BC的中垂线m和n.
(3)设m和n相交于O, 则以O为圆心,以OA为半径的⊙O为所求.
【讨论】 当m ∩ n =O 时, 易知OA=OB=OC. ⊙O 同时过A,B,C三点. 因为中垂线m和n 分别唯一, 且m , n 的交点也唯一, 故符合条件的⊙O有且只有一个.
当m ∩ n =φ，即m ∥ n 时，A，B，C 三点在同一条直线上. 此时 m 和 n 的交点O不存在，则圆心O不存在，从而符合条件的圆不存在.
【结论】 平面上三点确定一个圆的充要条件是：这三点不在同一直线上. 易知，三角形有唯一的外接圆.

二、圆方程的几何式与代数式
按圆的定义和距离公式，容易推得圆方程的几何形式为
(x－a )2 + (y－b )2 = r 2
其中的三个参数a , b , r 对应着“确定圆的三个条件”. 圆心O (a，b) 含两个条件，半径r 只相当1个条件.
将圆方程的几何式展开，得圆方程的代数式.
x2 + y2+Dx +Ey+F= 0
代数式中也含三个参数D，E，F，也对应着“确定圆的3个条件”：x 的一次项的系数，y的一次项系数和常数项.
所谓求圆的方程，就是确定参数组 a, b, r 的值或参数组D，E，F 的值.

【例2】 已知⊙G 经过原点，且在x 轴正向上的截得的弦长为OA=8，在y 轴负向上截得的弦长为OB=6, 求圆的方程.
【分析】 三个条件确定一个圆，本题的三个条件到齐，故圆的方程可以确定.
【解1】 OA的中垂线x= 4 与OB的中垂线 y= －3相交于G（4，-3）即得圆心G.
且（半径）
故所求的圆方程的几何式为（x－4）2+(y+3)2 =25

【解2】 设圆方程的代数式为：x2 + y2 +Dx + Ey +F=0
代入已知三点的坐标O (0,0), A (8,0) , B (0,－6) 得方程组

故所求方程的代数式为：x2 + y2 －8 x + 6 y =0
【点评】 本题的已知条件中，所求圆的几何特征明显，故设圆方程的几何式比代数式优越.

三、大千变换 唯“三”不变
求圆的方程，条件给定的方式千变万化，但条件的个数恒定为3. 如果说，确定一个圆的基本条件是3个已知点，那么编题人的花招只不过是：把3个“点”中的某1个点，某2个点，甚至全部3个点进行条件的“等价替换”.

【例3】 已知圆上两点P（－2，4）和Q（3，－1），且圆在 x 轴上截得的弦长为6. 求圆的方程.
【分析】 “在 x 轴上截得的弦长为6” 这是把“第3点”进行条件等价替换的结果. 因为已知点有两个，故考虑圆方程的代数形式.
【解答】 设圆的方程为： x2 + y2 + Dx + Ey + F =0 (※)
代入P，Q两点的坐标得
在式（※）中， 令y =0得： x2 + Dx +F=0
设其2个根分别为x1和x2 ,依题意有：
于是得D2－4F=36 （3）
联立（1），（2），（3）.解得 或
故所求的方程由 x2 + y2－2 x－4y －8 = 0或 x2 y2－6 x －8 y =0
【点评】 由式（3）的得出过程可知，演变后的第3个条件. 最终相当于1个已知点的作用.

四、圆的轨迹 也需三点
把圆视作轨迹图形，不管通过怎样的过程或方法而得到，其“控制条件”也是三个，其中，两个条件给圆（心）定位，一个条件确定圆（半径）的大小.

【例4】 设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0，且a≠1），求P点的轨迹.
【分析】 轨迹的控制条件有3个：点A，点B和比值a. 如果其轨迹是圆，则条件A，B则（主要）给圆（心）定位，而条件“比值a”（主要）用来确定圆的（半径）大小.
【解答】 设动点P的坐标为P（x，y）
由=a（a>0），得=a，化简得：
（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.
当a≠1时，得x2+x+c2+y2=0.整理，
得：（x－c）2+y2=（）2
所以当a≠1时，P点的轨迹是以（c，0）为圆心，以||为半径的圆.
【点评】 到两定点A和B距离之比为常数 a (a>0 且a≠1) 的点的轨迹是一个圆. 圆的直径的两个端点分别是AB线段的内、外两个（比例为 a）的分点.

五、缺少1点 便成圆系
3个条件“确定”一个圆， 如果缺少1个条件，则这个圆就变得“不确定”. 虽是“不确定”，但还有“能确定”的部分.因为它还要经过已知的两个点. 从而变成“圆系”问题.
特别地，经过两已知圆交点的圆系：
λ1 ( x2 + y2 + D1x + Ey + F1 )+ λ2 ( x2 + y2 + D2 x +E2 y +F2 )=0
其中，λ1，λ2 不同时为0，当λ1 +λ2 =0时，圆系方程确定了圆系的“根轴”——圆系公共弦所在的直线.

【例5】 求过直线2 x + y +4=0 和圆x2+y2+2 x－4 y +1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程
（1）过原点； （2）半径最小.
【分析】 所求的圆，已“满足两点”，故可先设圆系，再求出第3个参数.
【解答】 设所求的圆在“公共弦”的圆系中
（x2 + y2 + 2x－4y +1）+λ ( 2x + y + 4 ) =0
x2 + y2 +2 (1+λ) x + (λ－4) y+(1+4λ) = 0
(1)此圆过原点时，则有1+4λ=0, 即，所求方程为
(2)将圆系方程化为几何式：，当时，圆的半径最小，此时圆方程为
【点评】 “不足3个条件”的圆，可先按已知条件设立圆系，然后再找具体条件来确定具体的圆.这实际上提供了一个“逐步满足条件”的求圆步骤.

六、高考出题 “三点变戏”
关于圆的高考题，按“三点替换法”设计，可得到不同层次的考题难度，其操作办法也很有“程序”.
(1)直接给出3个基本条件，就是容易题；
(2)替换其中一，二个基本条件，得中档题；
(3)三个基本条件全部替换，或有的条件替换较“远”，则得到高难题.
当年那道求圆方程的高考压轴题，就是把三个基本条件全部替换了，而且有一条件“替换较远”.

【例6】 设圆⊙P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线ι:x -2y =0的距离最小的圆的方程.
【分析】 确定圆的条件给得非常明白，并开出了①，②，③ 的清单. 解题的功夫在于如何将这3个条件分别转化为圆方程的3个参数：在圆的几何式中是参数a, b, r ；在圆的代数式中是参数D，E，F.
由于题设中的几何特征明显，故优先考虑圆方程的几何形式
(x－a )2 + (y－b )2 = r 2
【解析】 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r. 易知点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.
由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，∴圆P截x轴所得的弦长为r，故得等式
r 2=2b2. ①
又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r 2=a 2+1. 从而得
2b2-a 2=1 ②
又点P (a，b)到直线x-2y=0的距离为d =，所以
5d 2=|a－2b|2=a2+4b2－4ab≥a2+4b2 －2(a2+b2)=2b2－a2=1，其等号成立的条件是
a=b ③
【插话】 至此，关于a、b、r 的三个方程全部到齐，联立①、②、③ 即可解出
a、b、r 的值，其具体过程如下.
当且仅当a=b时，关于d的不等式中的等号成立，从而要使d取得最小值，则应有
，
解此方程组得 或. 又由r2=2b2知r=.
于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.
【点评】 高考命题人把三个参数a、b、r 当作“谜底”深藏到三个“替换条件”中去，而解题人却把三个“替换条件”转变成关于a、b、r “三元三列方程组”，从而把三个参数a、b、r 找了回来. 这就是高考命题的“技术”，这就是考场解题的“能力”.
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