正态分布随机数的产生.doc

四院四队

正态分布随机数的产生
实验报告

2014年5月26日
正态分布随机数的产生
一、 实验简述
通过matlab实现正态分布N(0,1)随机数的产生。
二、 历史背景
正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。高斯是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。
其实，他提出的形式有相当大的局限性：海根把误差设想成个数很多的、独立同分布的“元误差” 之和，每只取两值，其概率都是1/2，由此出发，按狄莫佛的中心极限定理，立即就得出误差（近似地）服从正态分布。拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信服的解释。因为，高斯的说法有一点循环论证的气味：由于算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布；反过来，由后一结论又推出算术平均及最小二乘估计的优良性，故必须认定这二者之一（算术平均的优良性，误差的正态性） 为出发点。但算术平均到底并没有自行成立的理由，以它作为理论中一个预设的出发点，终觉有其不足之处。拉普拉斯的理论把这断裂的一环连接起来，使之成为一个和谐的整体，实有着极重大的意义。
三、 实验步骤
设U1,U2相互独立同服从U(0,1)，令

则,互相独立同服从N(0,1)。

步骤1：生成随机数U1，U2；
步骤2：，；
步骤3：令

产生1000个N(0,1)的随机数，并作直方图。
四、 实验原理
运用matlab的函数实现正态分布的随机数的产生，并画出直方图。
五、 实验价值
将课程所学的知识和实际运用结合到一起，加深对理论知识的理解，同时在实践中运用出来。
六、 计算机模拟
clear all
m=1000;
u1=rand(1,m);
u2=rand(1,m);
R(1,1:m)=0;
sita(1,1:m)=0;
X1(1,1:m)=0;
X2(1,1:m)=0;
for i=1:m
R(1,i)=sqrt(-2*log(u1(1,i)));
sita(1,i)=2*pi*u2(1,i);
X1(1,i)=R(1,i)*cos(sita(1,i));
[n1,x]=hist(X1,30);
subplot(1,2,1);
bar(x,n1);
title('X1');
X2(1,i)=R(1,i)*sin(sita(1,i));
[n2,x]=hist(X2,30);
subplot(1,2,2);
bar(x,n2);
title('X2');
end
七、 实验结果

八、 数据分析
函数随机产生的数字基本按照正态分布，但由于基数较小，直方图与正态分布曲线存在一定的误差。可通过增大随机数的产生来使直方图更加逼近正态分布曲线。