正弦定理余弦定理综合应用_解三角形经典例题(学生).doc

正弦定理与余弦定理
一、知识梳理
1．内角和定理：在中，；；
面积公式: 在三角形中大边对大角，反之亦然.
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一： (解三角形的重要工具)
形式二： (边角转化的重要工具)
形式三： 形式四：
3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一： (解三角形的重要工具)
形式二：
二、方法归纳
(1)已知两角A、B与一边,由A+B+C=π及，可求出角C，再求、.
(2)已知两边、与其夹角A，由2=2+2-2cosA，求出，再由余弦定理，求出角B、C.
(3)已知三边、、，由余弦定理可求出角A、B、C.
(4)已知两边、及其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边的对角B，由C=π-(A+B)，求出，再由求出C，而通过求B时，可能出一解，两解或无解的情况
=sinA有一解 >>sinA有两解 ≥ 有一解 >有一解

三、例题
例1、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：
① B=60°,b2=ac； ② b2tanA=a2tanB； ③ sinC=

例2、在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积.

[例3] 在中，分别为内角，，的对边，且．
（1）求的大小； （2）求的最大值．

[例4] 已知的内角，及其对边，．满足，求内角．

[例5] 如图，已知是边长为1的正三角形，、分别是边、上的点，线段经过的中心，设（）
（1）试将、的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数；
（2）求的最大值与最小值．

[例6] 某兴趣小组测量电视塔的高度(单位m），如示意图，垂直放置的标杆高度，仰角，
（1） 该小组已经测得一组、的值，，，请据此算出的值；
（2） 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离（单位m），使与之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为，试问为多少时，最大？

【例7】（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b

巩固习题
一 选择题
1. 在中，若，则一定是( )　　　　　　　　　　　
A、等腰三角形　　B、直角三角形　　C、等腰直角三角形　D、等腰或直角三角形
2. 在中，，且最大边长和最小边长是方程的两个根，则第三边的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间的相距（ ）
A．a (km) B．a(km) C．a(km) D．2a (km)
4．若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）
A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b= ,∠A=30°
C．a=1,b=2,∠A=100° C．b=c=1, ∠B=45°
二 填空题
6. 在△ABC中，C=，则的最大值是_______________.
7. 若中，，则角C的大小是__________
8. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边, ， =，则其外接圆的半径为_______________.
9． A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ΔABC是______三角形.
10．在ΔABC中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.
三 解答题
11. 在△ABC中，已知，A＝45°，BC=，求角C。

12．在中，角对应的边分别是，若，求

13．在中分别为的对边，若，
（1）求的大小；（2）若，求和的值。

14、在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．

15. 在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状。

16. 如图，，是海面上位于东西方向相聚海里的两个观测点，现位于点北偏东，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到点需要多长时间？

17. 在△ABC中，若.
(1)判断△ABC的形状；
(2)在上述△ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。

18. 在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．

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