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等面四面体的内切球与外接球

引理2 任意四面体都有内切球及外接球。
引理3 任意四面体的内切球在四个面上的切点与各面顶点连线给出切点处的周角的一个相同划分。

证明 如图3—8，四面体ABCD的内切球在各面上的切点分别为O1、O2、O3、O4.
由于球外一点向球引的切线长相等，可得AO2=AO3=AO4，
BO1=BO3=BO4，…. 于是△O1BC≌△O4BC，
△O2CD≌△O1CD，….
可设∠CO1D=∠CO2D=，∠DO1B=∠DO3B=，
∠CO1B=∠CO4B=，∠AO3B=∠AO4B=，
∠AO2C=∠AO4C=，∠AO2D=∠AO3D=z. 由周角360°,
图3—8 得 ①
②
③
④
四式相加，除以2，得 ⑤
⑤式减①式，得 ⑥
⑥式分别与②、③、④式联立，可解得
引理3得证。
定理5 等面四面体的各顶点到内切球的切线长相等。
此定理的另一种叙述方式是：等面四面体内切球在各面上的切点是该面的外接圆圆心。
证明 如图3—8，由于△ABC≌△DCB，可移动并翻转△ABC，使其与△DCB重合（A、B、C分别与D、C、B重合）. 现考察O4与O1的位置关系.
假设O4与O1不重合，则O4在△BO1D、△BO1C、△CO1D中的某一个内部或边上。不失一般性，不妨设O4点在△BO1内或在BO1上，则∠BO4D>∠BO1D,∠BO4D即是原△ABC中的∠CO4A。由引理3，得∠CO4A=∠BO1D，存在矛盾，因此O4必与O1重合。于是O1B=O4C=O1C，同理O1D=O1C，即O1是△BCD的外心。同理可证O2、O3、O4分别是各面上的外心。
定理6 四面体的内切球球心与外接球球心重合的充要条件是该四面体是等面四面体。
证明 先证充分性。
设等面四面体ABCD内切球球心为O，O点在各面上的射影为O1、O2、O3、O4，这四点分别是内切球与各面的切点。由定理5，这四点分别是各面三角形的外心，再由射影定理，得OA=OB=OC=OD，即O是四面体ABCD的外接球球心.
再证必要性。
由OA=OB=OC=OD，可得O1、O2、O3、O4是各面三角形的外心。以下相当于证明定理5的逆定理：由引理3，得∠CO1D=∠BO4A，又O1C=O1D=CO4=BO4=AO4，所以△CO1D≌△BO4A，所以CD=AB。同理可得BC=AD，BD=AC。由此，ABCD是等面四面体。
定理7 等面四面体的内切球球心、一面的重心及该面所对的顶点共线。
图3—9
证明 作等面四面体ABCD的外接长方体
。由定理6，等面四面体的内
切球球心与外接球球心重合，且是外接长方体的
中心（长方体对角线的交点）。如图3—9，取AC、
BD的中点E、F，EF与交于O。连结CF，
交于M。显然△OMF∽△MC，所以FM；
MC=OF: C=1:2。M点是△BCD的重心，所以
A、O、M三点共线，定理得证。
说明 对于一般四面体，每一面的重心与该面所对顶点
连线共四条，这四条线段交于一点（此点是该四面体外接平行六面体的中心）。该点称为四面体的重心。等面四面体的重心、内心（内切球球心）、外心（外接球球心）重合，此点称为等面四面体的中心。

练 习

1．等面四面体每一顶点所处的三个面角之和必为180°。

2．等面四面体各个面都是锐角三角形。

3．已知四面体四个面都是边长为10，17。的三角形，求以它六条棱中点为顶点的八面体的体积。

4．等面四面体的内切球球心到各面垂心的距离与到对顶点在该面上射影的距离相等。

5．等面四面体的四个旁切球球心都在其外接球上。

练习答案或提示

1．等面四面体ABCD各个面全等，得∠BAC=∠CDB，∠CAD=∠DBC，∠DAB=∠BCD，由∠CDB+∠DBC+∠BCD=180°，得∠BAC+∠CAD+∠DAB=180°
2．利用三面角中任两个面角之和大于第三个面角及第1题的结论。
3．先计算四面体外接长方体的各棱长，得6、8、15，内接八面体体积是该长方体体积的，为120。
4．如图3—10，H是△BCD是垂心，O是A在BCD上射影，由O作△BCD各边垂线OE′，OG′，OF′。∵△ABC≌△DCB，∴△DBG≌△ACG′，∴BG=CG′，同理，有CE=DE′，BF=DF′。四面体内切球球心在面BCD上射影是△BCD的外心M，易证MH=MO。
5．等面四面体的旁切球球心恰是该四面体外接长方体的另四个顶点。

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