高数必考知识点内部特供题(一).doc

考点1. 求函数的定义域
1、函数的定义域为 .
解：由得．即它的定义域为．
2、函数的定义域是 （ ）
A （) B （） C D
解：选.由题意： ，，，所以得到函数 的定义域为．
3、设，则的定义域为
解： ∵
∴定义域为.
4、的定义域是，的定义域是（ ）
A． B． C． D．
解：定义域，因此选．
5、如果函数的定义域为，则函数的定义域为 （ ）
A、 B、 C、 D、
解：由，可知定义域为.选B.
考点2 求复合函数或函数或复合函数的外层函数
6、已知，则_________.
解：根据复合函数可知：.
7、设则
解：令 ；
.
8、设，求．
解：因为，所以．
9、设函数，，则 .
解： 由题意知，，题目让求，即已知，得，代入即可得到结果3.
10、设，则_________.
解：
考点3 函数的奇偶性、有界性等性质的题目
11、函数在定义域内是 （ ）
A、周期函数 B、单调函数 C、有界函数 D、无界函数
解：根据函数的图像可知是无界函数.选D.
12、下列函数时奇函数的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
解：A、C是偶函数，Ｂ是奇函数，Ｄ为非奇非偶．故选Ｂ．
13、以下结论中正确的是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 （ ）
Ａ、函数是奇函数　 　 　 　 　 　 B、函数在定义域内有界
Ｃ、函数在定义域内是单调增加的　　 D、函数的周期是
解：Ａ选项是非奇非偶的，Ｃ在定义域内是单调减少的，Ｄ的周期为．故选Ｂ．
14、下列函数中，图形关于y轴对称的是（）
A、 B、 C、 D、
15、若的定义域关于原点对称，则下列函数的图像一定关于y轴对称的是（）
A、 B、 C、 D、
解：此题实质也是确定函数奇偶性，利用奇偶函数定义只有一定是偶函数，图像关于轴对称；奇函数，图像关于原点对称；另两个无法确定.应选C.
16、若为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是
A． B． C． D．
解：由奇偶函数的定义易得是偶函数，，为奇函数，为非奇非偶函数，应选C.
考点4 无穷小量阶的比较
17、当时，与为等价无穷小，则= （ ）
A B 1 C 2 D -2
解：， 选C
18、当时，是比的　 　 　 　 　 　 　 　 　 　（ ）
Ａ、低阶无穷小　 　 Ｂ、高阶无穷小　 　 　 Ｃ、等价无穷小　 Ｄ、同阶但不等价无穷小
解：，．故选Ｄ．
19、当时，与ｘ不等价的无穷小量是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 （ ）
Ａ、　 　 　 　 B、 Ｃ、　 　 　 　D、
解：根据常用等价关系知，只有与比较不是等价的．故选Ａ．
20、当时，是x的（）
A、高阶无穷小 B、低阶无穷小 C、同阶但非等价无穷小 D、等价无穷小
21、当时，等价，则 .
考点5 简单函数求极限或极限的反问题
22、若则 .
解：左式= 故.
23、若，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．
解：，选B
24、
解：原式.
25、已知存在，则=
解：，
26、若且,则正整数=
解： 故.
27、　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （ ）
Ａ、１　 　 　 　 Ｂ、　 　 　 　　 Ｃ、　 　 　 　 Ｄ、
解：．故选Ｄ．
考点6 函数的连续性问题
28、设且存在，则= （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
解：　　　　　　选C .
29、函数，在点处　 　 　 　 　 　 　 　 　 　（ ）
Ａ、连续　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ、不连续，但右连续
Ｃ、不连续，但左连续　 　 　 　 　 　 　 Ｄ、左右都不连续
解：，所有不连续，但是右连续．选Ｂ．
30、设在连续，则　 　 　 　 　 　 　 　 　 （ ）
Ａ、　 　 　 　 Ｂ、　 　 　 　 　 Ｃ、１　 　 　　 Ｄ、２
解：根据连续的定义有：．故选Ｂ．
31、如果函数处处连续，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
解：因为函数处处连续，所以在处也连续，又，
，从而可知.选C.
32、在处连续，a与b的关系为 .
考点7 函数间断点的类型判定
33、是函数的　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　（ ）
Ａ、连续点　 　 　Ｂ、可去间断点　 　 Ｃ、跳跃间断点　 　 Ｄ、第二类间断点
解：，．故选Ｃ．
34、是的　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 （ ）
A、连续点　 　 　 　B、跳跃间断点　 C、可去间断点　 　 D、第二类间断点
解：函数在处无定义，又，极限存在，故为可去间断点．选Ｃ．
35、设，则是的 （ ）
A、连续点 B、可去间断点 C、无穷间断点 D、跳跃间断点
解：，，根据间断点的分类，可知是跳跃间断点.选D.
36、设，则是的 （ ）
A、连续点 B、可去间断点 C、无穷间断点 D、跳跃间断点
解：，，根据间断点的分类，可知是跳跃间断点.选D.
37、是函数的（）
A、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点 D、第二类间断点
考点8 零点定理确定方程根的存在性
38、方程在区间内的实根的个数为 （ ）
A、0　 　 　 　 B、1　 　 　 　　 Ｃ、2　 　 　 　 Ｄ、3
解：构造函数， ，，根据零点定理知，在内至少有一个实根；又，即函数是单调的。由此可知，已知方程在内只有一个实根。选B.
39、下列方程在区间内至少有一个实根的为 （ ）
A、 B、
C、 D、
解：构造函数，验证端点函数值是否异号，显然只有满足零点定理，故选C.
40、不求解方程证明方程恰有两个实根.
证明：构造函数，
它在[1,2],[2,3]区间上连续，且，
从而有，由零点定理可知在区间（1,2），（2,3）内个至少有一个实根，而是二次多项式方程，最多有两个实根.
故方程恰有两个实根，分别在（1,2），（2,3）内.
41、证明方程设函数，均在区间上连续，且，证明：存在，使得成立。
证明:构造辅助函数,则,<0,由零点定理可知至少存在一点,使得.
42. 设函数，均在区间上连续，，，且，证明存在存在，使得成立。
证明:构造辅助函数
F(b)=,显然F(x)在[a,b]上连续的,从而满足中值定理的条件,故存在使得.
考点9 求复杂函数的极限
43. 求
解：

44. 求.
解：
45. 求
解：

46. 求
解：

47.设在处连续，且，求
解：
.
48 求
解：

考点10 利用导数的定义,求极限或导数

49. 已知函数可导，且，则曲线在点处的切线斜率为
A． B． C． D．
解：，所以，即曲线在点处的切线斜率为，应选B.
50. 函数在点处可导，且取得极大值，则
A．0 B．1 C． D．
解：由函数在点处可导，且取得极大值得，而
，应选A
51.设函数,则
A B C D
解：根据导数的定义解题，
，所以可知

52．已知，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：根据导数的定义，
，选（D）．
53.若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
解:
考点11 简单函数求导数或微分
54.y=ln(lnx),则
解:
55.设,则=
解: =
56.设y=
解：
57.设
解：

58.设
解：先确定时函数的表达式，再求导代入即可.，也就是说，当或者时，；当时，。不难看出时的表达式是，再求导，.再将代入可知.
考点12 简单函数求高阶导数
59. 已知，则
解：
60. 已知是某一多项式函数，且次数为10，则
解：是10次多项式函数，有,所以
70. 设，求
解：因为，
所以
71.设的值为()
答案：30
解：；
；
；
；
；
.
所以
72. 函数sinx的三阶导数是()
A sinx B C.cosx D.
解：sinx的一阶导数为cosx,二阶导数为
考点13.参数方程确定函数求导
73. 设函数（为参数），则.
解：;

74. 曲线在点（0,1）处切线方程为________________.
解：,而点（0,1）对应的参数，所以，
切线方程为
75. 设函数由参数方程确定，则 （ ）
A． B． C． D．
解：，，选C.
76.已知参数方程，求 （ ）
A、 B、 C、 D、
解：.故选A
77. 已知参数方程， （ ）
A、4 B、2 C、 D、
答案：C
解：，.故.选C.
考点14 隐函数求导或求微分
78. 设方程确定是的函数，则.
解：两边取自然对数得，再两边微分得
所以
79. 设函数由方程确定，则.
解:两边微分得，即，
所以，而，，故.
80. 函数由方程确定，求.
解：方程两边微分得，
即 ，
而时，，有，所以.
81. 设函数是由方程确定的函数，求微分.
解：对方程两边同时求微分有：，
整理后可得：，从而有.
82. 函数由方程确定，则该曲线过点的切线方程为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解：两边同时对x求导有，，所以切线方程为.故选A.
考点15 复合函数求导数或微分
83.设函数可微，则的微分
A. B.
C. D.
解：,应选D
84.设，求.
解：两边取自然对数得，
两边对求导得；
所以
85.已知，且，求.
解：

86. 设，求.
解：

.
87. 设，求.
解：

考点16. 求曲线的切线或法线方程或斜率问题.
88.设曲线方程确定，则曲线上点处法线方程为.
解：两边微分得，所以切线斜率为，法线斜率为2，法线方程为
89.已知函数连续且，则曲线上对应处的切线方程是.
解：因；
所以；切线方程为
90.求曲线在点(0,1)处的切线方程和法线方程.
解：，则在点(0,1)处切线的斜率为，相应的有，所以切线方程为，即；法线方程为
，即.
91.曲线在点处的法线方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
解：根据导数的几何意义，切线的斜率，故法线方程为
，即 ，选（B）．
92. ．曲线通过点的切线方程为 ．
解：因 ，
故切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 ．
考点17. 指出函数在给定的区间上是否满足罗尔定理,拉格朗日定理或满足定理求定理中的值
93．函数在区间上满足拉格朗日公式中的等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：对函数在区间上应用拉格朗日中值定理，
，即 ，故 ．选（D）．
94. 下列函数在给定区间上满足罗尔中值定理的是 ( ).
A. B.
C. D.
解：验证端点函数值是否相等排除C;看在闭区间是否连续排除D,在开区间内可导排除B，只有A中函数满足三个条件，应选A.
95. 函数在区间上满足拉格朗日定理，则.
解：由得，解得
96.下列函数在给定的区间上满足罗尔中值定理的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解：B选项两端点值不相等，C选项处不连续，D选项处不可导.故选A
97. 下列函数中，在区间上满足罗尔中值定理条件的是 （ ）
A、 B、 C、 D、
解：验证罗尔中值定理条件可知，只有满足.故选C
考点18. 用罗尔定理证明含有的等式
98.在闭区间上连续，在开区间内可导，且，
证明：在内至少存在一点，使得成立．
证明：构造函数，则在上连续，在开区间内可导，且有，由条件知，
即，所以在上满足罗尔中值定理，至少存在，使得，即有成立
99. 证明：方程在区间内有唯一的实根.
证明:构造函数，在R内都有意义，
从而在内连续，且，
，
由零点定理知，在内至少有一个实根；
又因在内大于0，知在内单调上升，
所以在内至多有一个实根，
故方程在内有唯一实根，
即方程在区间内有唯一的实根.
100. 设在上连续，在内可导，且，试证：，使得成立（为实常数）.
证明： 构造函数，显然在上连续，且有
在内有意义，即在内可导，
而.于是由罗尔中值定理可知：，使得.
即有，又因，
所以有成立.问题得证.
101. 设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且．证明：在内至少存在一点，使得成立．
证明：构造函数，它在上连续，
且在内有意义，即在内可导，
又有,
故在上满足罗尔中值定理，所以在内至少存在一点，使得,
即在内至少存在一点，使得成立．