第5.4节幂级数.doc

第
十九
讲

幂 级 数

微积分教学设计
教学札记

教学对象：财经类，管理类等专业
教学内容：函数项级数及其收敛域，发散域，幂级数及其收敛半径6，收敛区间和和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，幂级数的收敛区间及和函数的求法
教学目的：掌握幂级数收敛半径和收敛区间的求法，了解幂级数在其收敛区间的基本性质，会求简单幂级数的和函数
教学方法：利用多媒体进行启发式教学
教学重点：幂级数收敛半径及收敛区间的求法
教学难点：幂级数和函数的求法

教学过程
1. 有关函数项级数的概念
对于数项级数，它的每一项都是数，如果
都是自变量的函数，我们称如下的级数
(1)
为函数项级数(functional series). 对任一给定的，就相应的有一个数项级数，变动就能得到许许多多的数项级数。
凡是使收敛的点，称为函数项级数的收敛点，而使发散的点称为的发散点。所有收敛点的集合称为收敛域；而所有发散点的集合则称为发散域。例如，级数的收敛域为，发散域则为。
对收敛域内的任意一个，函数项级数都有唯一确定的和，因此是定义在收敛域上的一个函数，即有
，我们称为函数项级数的和函数。
2. 幂级数的概念
称形如的无穷级数（其中，均为常数）为幂级数(power series)，并称为幂级数的系数。
教学心得

3. 幂级数收敛域及其求法
对于一个幂级数，首要问题是确定它的收敛域。幂级数在处显然是收敛的。至于时有如下的结论：
定理1 如果幂级数在时收敛，则对一切的幂级数绝对收敛，反之，若当时发散，则对一切的幂级数发散。
定理1揭示了幂级数收敛域的特定结构。如果幂级数在处收敛，而在处发散，则必有，因此应当存在非负常数Ｒ，满足使得当时，幂级数是收敛的，而当时，幂级数是发散的。我们称这样的非负常数Ｒ为幂级数的收敛半径。通常称开区间为幂级数的收敛区间(convergent interval).
一般我们用如下的方法来求幂级数的收敛半径Ｒ.
定理2 如果幂级数满足条件，则有
（1）若，则
（2）若，则
（3）若，则
例6.4.1 求幂级数的收敛区间、收敛域。
例6.4.2 求幂级数的收敛域。
例6.4.3 求幂级数的收敛域。
4. 幂级数的性质
定理3（逐项微分定理）幂级数的和函数在收敛区间内部是可微函数，恒可以逐项微分，即有：

而且逐项微分后，幂级数的收敛半径Ｒ不变，即级数与有相同的收敛半径Ｒ。
教学札记

教学心得

定理4（逐项积分定理）幂级数的和函数在收敛区间内部可以逐项积分，即有：

而且逐项积分后，幂级数的收敛半径Ｒ不变。
定理5 （Abel定理）如果幂级数的收敛域包含右(左)端点，则其和函数在右(左)端点是左(右)连续的。
例4 求幂级数的收敛域及其在收敛区间内的和函数。
例5 求幂级数的和函数并求级数的和。
例6 求数项级数的和。
5. 作业
教学札记

教学心得

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