第17讲 高等数学(十七)(2010新版).doc

（三）例题
【 例 1-4- l 】 判别级数sin 的收敛性。
【解】 级数 sin 为正项级数，因为

而级数发散（p-级数，p=1的情形，，根据比较审敛法的极限形式知此级数发散 .

【 例 1 -4 - 2 】 判别级数

的收敛性。
【 解 】 所给级数为正项级数，因为

根据比值审敛法知所给级数发散。

【 例 1- 4-3 】 判别级数的收敛性。
【 解 】 所给级数为正项级数，因为

根据根值审敛法知所给级数收敛。

【 例 1-4 – 4】 数项级数的部分和数列有界是该级数收敛的
（ A ）充分条件。
（ B ）必要条件。
（ C ）充分必要条件。
（ D ）既非充分又非必要条件。
【解 】 按数项级数收敛的定义，级数收敛即级数的部分和数列有极限，而部分和数列有界是部分和数列有极限的必要条件，故选（ B ）。
注意对正项级数来说，部分和数列有界是级数收敛的充分必要条件，而对一般的非正项级数来说，部分和数列有界仅是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。

【 例1-4 -5】级数

的收敛性是
（ A ）发散
（ B ）条件收敛
（ C ）绝对收敛
（ D ）无法判定
【 解 】 按莱布尼兹判别法知，级数收敛；级数是 p -级数的情形，p < 1 ，故级数发散，因此应选（ B ）。

【 例 1 】判别级数

的收敛性。
【 解 】 所给级数是任意项级数，因为

而级数是收敛的（p-级数，p = 4 ）。根据比较审敛法知，级数收敛，即级数绝对收敛，从而级数收敛。

【 例 1 - 4 -7 】判别级数的收敛性。
【 解 】 所给级数为任意项级数，因为

根据任意项级数审敛法（ 3 ）知，所给级数发散。

［例 1 -4 - 8 ］下列各选项正确的是

二、幂级数泰勒级数
（一）幂级数的概念和性质
1 ．幂级数的概念
称为幂级数，令，可化为
2 ．幂级数的收敛性
若级数当时收敛，则对适合的一切x，级数绝对收敛；若级数当时发散，则对适合的一切 x ，级数发散。
3 ．幂级数的收敛半径及其求法
若幂级数在某些点收敛，在某些点发散，则必存在唯一的正数 R ，使当时，级数绝对收敛，当时，级数发散。这个 R 称为幂级数的收敛半径；若幂级数只在 x = 0 处收敛，则规定收敛半径 R = 0 ；若幂级数对一切 x 都收敛，则规定收敛半径
对幂级数若

则它的收敛半径

4 ．幂级数的性质
若幂级数的收敛半径为 R ，则称开区间（- R , R ）为幂级数的收敛区间，"
根据幂级数在 x ＝± R 处的收敛情况，可以决定幂级数的收敛域（即收敛点的全体）是四个区间：（- R , R ）、［- R , R ）、（- R , R ］、[- R , R ］之一。
幂级数具有以下性质：
（ l ）幂级数的和函数在其收敛域上连续；
（ 2 ）幂级数的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导、逐项积分公式

逐项求导、逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

（二）泰勒级数
1 ．泰勒级数的概念
若 f （ x ）在点 x0处具有各阶导数，则幂级数称为函数f （ x ）在点 x0处的泰勒级数，特别当x0 = 0 时，级数称为函数 f （ a ）的麦克劳林级数。
2 ．函数展开成泰勒级数的条件
设函数 f （x）在点 x0的某邻域 U （ x0）内具有各阶导数，则 f （ x）在该邻域内能展开成泰勒级数（即 f （ x ）的泰勒级数收敛于 f （ x ）本身）的充分必要条件是 f （ x ） 的泰勒公式中的余项

（其中）
3 ．常用函数的幂级数展开式

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