高等数学(3) 8.6节课后辅助材料.doc

8.6辅助材料
一、多元函数的极值
例1 求函数的极值．
解 ，，
令 ,解得 ，，所以是驻点．
又求得 ，，， 可知 ．
于是是极小点，且极小值为 ．
例2 求周长为的所有三角形的最大面积．
解 由秦九韶──Helen公式，三角形面积与三边之间的关系式为
（其中,,是三边长,为周长的一半）．
由于面积的表达式带根号，因此，先求面积的平方的极值．
设三角形有两条边长是与，则第三边长是，因此，面积的平方可
表示为

求得 ， （1）
， （2）
令 ， 得 ，
两式相减，得 ，由三边不等式关系，只有，
代入原方程，求得．由于此实际问题的最大值一定存在,
因此当三角形是等边三角形时，面积最大，最大面积是．

A
B
C
图11.6-1
二、多元函数的最大值与最小值问题
例1 求在正方形闭区域上的最大值和最小值.
解 ，，令 ，，解得驻点，它恰好在区域的边界上（如图11.6-1），函数在的内部无临界点.所以函数的最大值和最小值只能在的边界上取得.边界由四条直线段组成.在上，，因此，在上的最大值为0，最小值为 –1; 在上，，因此，在上的最大值为，最小值为 ; 在上，，因此，在上的最大值为，最小值为 0; 在上，恒有.
综上所述，在上的最大值为，最小值为.
例2 求函数在闭区域上的最大值与最小值.
解 在区域的内部，函数有唯一的驻点， .
在边界曲线上，.函数在边界上的最大值为，最小值为.所以函数在上的最大值为，最小值为.
注：函数在边界曲线上最大值与最小值问题，实际上是条件极值问题，这里我们是把条件极值化为普通极值来解决的.
三、条件极值
1.定义:在求极值中，经常会出现自变量满足一定条件的极值问题，上面的例子可以
看作是求三元函数在条件下的极值问题．
这类附有条件的极值问题称为条件极值问题．
2.求法──拉格朗日乘数方法．
在条件和下，求函数的极值．
假定函数，，在所考虑的区域内有连续的偏导数．
第一步 引入辅助函数
，视与为变量．
第二步 令关于五个变量的偏导数都是，求出相应的驻点．
第三步 根据实际问题判断驻点是否是极值点．
例1 求到平面的距离．
解 点到平面上的距离指的是点到平面上各点距离的最小值．因为当距离取得最小值时,距离的平方也取得最小值,所以我们来求函数

在条件下的最小值．
因此，作辅助函数
，
得 ，易求出

于是,方程组只有唯一一组解,
, .
，
显然,这个问题存在最小值.因此求得的最小值为
点到平面的距离为
课后习题参考解答（8.6和总习题）
4.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为P1和P2，销售量分别为Q1和Q2，需求函数分别为；总成本函数为，问厂家如何确定两个市场的售价，能使得获得的总利润最大？最大利润为多少？
解　设利润函数为L，则

又 令其为0，解得P1=80，P2=30，此为唯一驻点.
又由题意知最大利润一定存在，故P1=80，P2=30时取得最大利润336.
5.某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养(万尾)，乙种鱼放养(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为，求使产鱼总量最大的放养数？
解　设产鱼总量为T，则
令为0，解得.
唯一驻点，且由题意知最大值一定存在，故即为所求.
6.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是P1=18-2Q1；P2=12-Q2，其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量即.
(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；
(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售最及其统一的价格，使该企业的总利润最大，并比较两种价格策略下的总利润大少.
解　(1)设利润函数为L，则

令
为0，解得唯一驻点，又因最大利润一定存在.
故Q1=4，P1=10；Q2=5，P2=7时有最大利润L=52；
(2)令P1=P2=P，则

令，得唯一驻点P=8.
因最大利润一定存在，故时有最大利润L=49，显然，实行价格差别策略时总利润要大些.
7.从斜边长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.
解　设另两边长分别为x，y，则，
周长，题目即为求在约束条件下的极值问题.
设拉格朗日函数

令

为0，联立解方程组得，唯一驻点，且最大周长一定存在，
故当时有最大周长.
8.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，根据统计资料，铱售收入R(万元)与电台广告费用X1(万元)及报纸广告费用X2(万元)之间的关系有如下的经验公式：

(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
(2)若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略.
解　(1)利润函数

令

为0，联立解得(万元)，(万元)
又
，故点(0.75，1.25)为极大值点，
极大值唯一，由实际问题知，极大值就是最大值。即此时的最优广告策略为用0.75万元作电台广告，用1.25万元作报纸广告.
(2)做拉格朗日函数

令

为0，联立解得
即广告费用1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.
9.设生产某种产品需要投入两种要素，x1和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量，若生产函数为，其中为正常数，且，假设两种要素的价格分别为P1和P2，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小.
解　此为有约束条件的多元函数的极值问题，即投入总费用在约束条件下的极值问题.
设拉格朗日函数
令

为0，联立解得
由题意分析可知，此时投入总费用最小
总习题16 某企业在雇用名技术工人、名非技术工人时，产品的产量

若企业只能雇用230人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术工人才能使产量最大？
解　问题为产量函数在附加条件下的极值问题
作拉格朗日函数

令

解得
因为由问题本身可知最大产量一定存在，所以用90名技术工人、140名非技术工人时产量Q最大。